《工程数学第7讲》由会员分享，可在线阅读，更多相关《工程数学第7讲（52页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、工程数学 第7讲本文件可从网址 http:/ 上下载 (单击ppt讲义后选择工程数学子目录)123由此, 当zz0时, 得而y(z)=1/j(z)在z0解析, 并且y(z0)0, 所以z0是 f(z)的m级极点. 证毕这个定理为判断函数的极点提供了一个较为 简单的方法.4565. 函数在无穷远点的性态 如果函数f(z)在无 穷远点z=的去心邻域R|z|内解析, 称点 为f(z)的孤立奇点.78规定, 如果t=0是j(t)的可去奇点, m级极点或 本性奇点, 则称点z=是f(z)的可去奇点, m级 极点或本性奇点. 由于f(z)在R|z|+内解析, 所以在此圆环域 内可以展开成洛朗级数, 根据(
2、4.4.5)与(4.4.8),C为R|z|+内绕原点任何一条简单正向闭 曲线9如果在级数(5.1.6)中i)不含负幂项, ii)含有有 限多的负幂项, 且t-m为最高幂, iii)含有无穷多 的负幂项, 则t=0是j(t)的i)可去奇点,ii)m级极 点, iii)本性奇点.10因此, 在级数(5.1.5)中, i)不含正幂项; ii)含有限多的正幂项, 且zm为最高幂; iii)含有无穷多的正幂项; 则z=是f(z)的 i)可去奇点; ii)m级极点; iii)本性奇点.111213142 留数151. 留数的定义及留数定理 如果函数f(z)在z0的 邻域内解析, 那末根据柯西-古萨基本定理
3、但是, 如果z0为f(z)的一个孤立奇点, 则沿在z0 的某个去心邻域0|z-z0|R内包含z0的任意一 条正向简单闭曲线C的积分一般就不等于零.16因此将f(z)在此邻域内展开为洛朗级数 f(z)=.+c-n(z-z0)-n+.+c-1(z-z0)-1 +c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+. 后,两端沿C逐项积分, 右端各项积分除留下 c-1(z-z0)-1的一项等于2pic-1外, 其余各项积分 都等于零, 所以其中c-1就称为f(z)在z0的留数, 记作Resf(z),z0, 即17定理一(留数定理) 设函数f(z)在区域D内除有限 个孤立奇点z1,z2,.,zn外处处解析
4、. C是D内包围 诸奇点的一条正向简单闭曲线, 则Dz1z2z3zn C1C2C3CnC18证 把在C内的孤立奇点zk(k=1,2,.,n)用互不 包含的正向简单闭曲线Ck围绕起来, 则根据复 合闭路定理有19求函数在奇点z0处的留数即求它在以z0为中心 的圆环域内洛朗级数中c-1(z-z0)-1项的系数即 可. 但如果知道奇点的类型, 对求留数可能更 有利. 如果z0是f(z)的可去奇点, 则 Resf(z),z0=0, 因为此时f(z)在z0的展开式是泰 勒展开式. 如果z0是本性奇点, 则没有太好的 办法, 只好将其按洛朗级数展开. 如果z0是极 点, 则有一些对求c-1有用的规则.20
5、2. 留数的计算规则 规则1 如果z0为f(z)的一级极点, 则规则2 如果z0为f(z)的一级极点, 则21事实上, 由于 f(z)=c-m(z-z0)-m+.+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1 +c0+c1(z-z0)+., (z-z0)mf(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+. +c-1(z-z0)m-1+c0(z-z0)m+.,令两端zz0, 右端的极限是(m-1)!c-1, 两端除 以(m-1)!就是Resf(z),z0, 因此即得(5.2.5), 当 m=1时就是(5.2.4)222324由规则1, 得25我们也可以用规则III来求留数:这比用规则1要简单些.26
6、272829303.在无穷远点的留数 设函数f(z)在圆环域 R|z|内解析, C为圆环域内绕原点的任何一 条简单闭曲线, 则积分的值与C无关, 称其为f(z)在点的留数, 记作积分路线的方向是负的.31定理二 如果函数f(z)在扩充复平面内只有有 限个孤立奇点, 那末f(z)在所有各奇点(包括 点)的留数总和必等于零. 证 除点外, 设f(z)的有限个奇点为 zk(k=1,2,.,n). 又设C为一条绕原点的并将 zk(k=1,2,.,n)包含在它内部的正向简单闭曲线 , 则根据留数定理与在无穷远点的留数定义, 有3233343 留数在定积分计算上的应用351. 形如 的积分, 其中 R(c
7、osq,sinq)为cosq与sinq的有理函数. 令z=eiq, 则dz=ieiqdq,36其中f(z)是z的有理函数, 且在单位圆周|z|=1上 分母不为零, 根据留数定理有其中zk(k=1,2,.,n)为单位圆|z|=1内的f(z)的孤立 奇点.37例1 计算 的值.解 由于0p1, 被积函数的分母在0qp内 不为零, 因而积分是有意义的. 由于 cos2q=(e2iq+e-2iq)/2=(z2+z-2)/2, 因此38在被积函数的三个极点z=0,p,1/p中只有前两 个在圆周|z|=1内, 其中z=0为二级极点, z=p为 一级极点.394041取积分路线如图所示, 其中CR是以原点为
8、中心 , R为半径的在上半平面的半圆周. 取R适当大, 使R(z)所有的在上半平面内的极点zk都包在这 积分路线内.z1z2z3yCR-RROx42此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变.434445463. 形如 的积分当R(x)是x的有理函数而分母的次数至少比分 子的次数高一次, 且R(x)在实数轴上没有奇点 时, 积分是存在的 象2中处理的一样, 由于m-n1, 故对充分大的 |z|有47因此, 在半径R充分大的CR上, 有484950还可以利用复变函数计算出下列积分值:51作业 第五章习题 第183页开始 第1题 第1),2),3)小题 第8题 第1),2),3)小题 第9题 第1),2)小题52
