《上海海事大学 概率论 第三章(1,2)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《上海海事大学 概率论 第三章(1,2)（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章 多维随机变量及其分布3.13.1 二维随机变量二维随机变量到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其分布。 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述。在射箭时,命中点的位置是由一对坐标( X, Y )来确定的。飞机的重心在空中的位置是由三个r.v ( X，Y，Z ）来确定的。一般地，我们称n个随机变量的整 体 X = (X1 , X2 , ，Xn ) 为n 维随机变量或随机向量。以下重点讨论二维随机变量。请注意与一维情形的对照 。设是随机试验E的样本空间, 若定义则称 ( X , Y )为二维随机向量或二维随机变量。设( X , Y )是二维随机向量, 对于
2、任意实数 x , y 二元函数：定义称为二维随机变量( X , Y )的分布函数。( x, y)xy( X , Y )基本性质1. F(x , y )是 x , y 的不减函数。2. 3. F( x , y ) 关于x , y 均右连续。 4. yxD二维离散型随机变量二维离散型随机变量设二维离散型随机变量( X , Y )所有可能取到的值为：X Yx1x2xiy1p1 1p21pi 1y2p1 2p2 2pi 2yjp1 jp2 jpi j分布律可用如下表格表示：例 1 X 在 1, 2, 3, 4 中等可能取一个值，Y 在 1 X 中等可能取一个整数值，试求 ( X , Y ) 的分布律。
3、解： X=i , Y=j 中 i= 1, 2, 3, 4 j 取不大 于 i 的整数。列表如下：X Y123412030040001/81/81/41/121/121/121/161/161/161/16二维连续型随机变量二维连续型随机变量对于二维连续型随机变量( X , Y )的分布函数F( x, y ) 如果存在非负可积函数 f ( x, y ) ，对于任意 x , y 有：则称 ( X , Y ) 是二维连续型随机变量二维连续型随机变量，f( x, y ) 称为二维随机变量称为二维随机变量( X , Y ) 的概率密度或随随机变量机变量 X 和 Y 的联合概率密度。( x, y )( X
4、, Y )几何 意义xyzz = f ( x, y )基本性质1) 2) 3) Gxy( X , Y )4) 若 f ( x , y ) 在 ( x , y ) 处连续，则有：以上关于二维随机变量的讨论，可以容易地推广到 n ( n 2 )维随机变量的情况。例2 设二维连续型随机变量( X , Y )具有概率密度为：1. 求常数 k ;2. 求 F( x , y ) ;3. 求 P X Y 1. 求常数 k ;解：xy2. 求 F( x , y ) ;xy( x , y )( x , y )3. 求 P X Y xyx = yx=yx=03.23.2 边缘分布边缘分布( X ,Y ) 的分布
5、已知X 的分布 FX ( x ) = ? Y 的分布 FY ( y ) = ? 称 FX( x ) ，FY( y ) 为 ( X，Y ) 的边缘分布函数。F( x , y )F( x , y ) 已知同理：v二维离散型随机变量对 ( X , Y ) 已知:问：对 X 对 Y例 1 试求3.13.1例 1中 X , Y 的边缘分布律。解：X Y123411/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/16X1/41/41/41/4Y25/4813/487/481/16v二维连续型随机变量对 ( X , Y ) 已知 f ( x , y )问：对 X fX(
6、 x ) = ? 对 Y fY( x ) = ? 例2 设 ( X,Y ) 的概率密度为：求 (1) c的值；xy1y=x0（2）两个边缘密度。解：(1)=5c/24=1,c =24 /5xy1y=x0解: ( 2 ) xy1y=x0解: ( 2 ) xy1y=x0下面我们介绍两个常见的二维分布。注：在求连续型随机变量的边缘密度时，往 往要求联合密度在某区域上的积分。 在计 算积分时应特别注意积分限 。设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二维随机变量（X , Y ）具有概率密度则称（ X, Y ）在G上服从均匀分布. 二维均匀分布若二维随机变量（ X,Y ）具有概率密度：其中均为常数,且 二维正态分布则称（ X,Y）服从参数为 的二维正态分布。记作（ X, Y ）N ( )核心：等高线 ：二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布（证明见教材）
