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1、3 图像变换3.1 概述输入函数f(x,y)妇表示原始图像，输出函 数g(x,y)表示经处理后的图像，线性系统 可看作是一种映射，它反映了各种线性 的图像处理方法。1）图像处理的线性描述系统的输入和输出关系表示为一般地讲，图像处理的二维系统为非因 果系统，因空间变量(x,y)相对于某参考轴可 为负值。2）图像变换的好处v一般数字图像处理的计算方法本质上都 为线性，处理后的输出图像阵列为输入 图像阵列的各个元素的加权线性组合， 这种空间线性处理要比非线性处理简单v但若图像阵列很大，如果没有有效的算 法，计算上很麻烦且费时，往往采用各 种图像变换的方法，可获得更有效的处 理3.2 图像的线性运算若
2、实变量函数f(x,y)连续可积，且F(u)可 积，则傅里叶变换对为：3.2.2 二维连续傅立叶变换1）一维连续傅立叶变换u=/2,为频率变量考虑f(x)为实函数，将傅立叶变换写成 复数形式进一步写成指数形式为幅值函数，称为 f(x)的傅立叶谱称为相角傅立叶谱的平方，称为能量谱或功率谱若 f(x,y)连续可积的，且F(u,v)可积，则 二维傅立叶变换对为2）二维连续傅立叶变换其中u,v是空间频率变量傅立叶谱相角能量谱表3.1给出了常用函数的二维傅立叶 变换对3.3 二维离散傅立叶变换及其性质3.3.1 概述离散傅立叶变换（ Discrete Fourier Transform 简称 DFT ）在
3、数字信号处 理和数字图像处理中应用十分广泛，它 建立了离散时域和离散频域之间的联系 。如何运用DFT 将输入的数字信号首先进行 DFT 变换 ，在频域中进行各种有效的处理，然后 进行 DFT 反变换，恢复为时域信号。DFT的优点v用计算机对变换后的信号进行频域 处理，比在时域中直接处理更加方 便，计算量也大大减少，提高了处 理速度v有快速算法，即 FFT ( Fast Fourier Transform)算 法3.3.2 二维离散傅立叶变换以 x 为增量间隔进行取样，将一维连续函数 f(x) 离 散化。1) 一维离散傅立叶变换式中x=0,1,2,，N-1，为离散值表示为：经取样后的一维离散函数
4、 f (x)的离散傅 立叶变换对由下式表示：式中 F (u)也是一个离散函数, F (u)=F(u0+uu),若取样始于原点式中u=0,1,2,，N-1，为离散值 空间域取样间隔x和频率域取样间隔 u 之间的关系为2）二维离散傅立叶变换式中空间域取样间隔空间域取样间隔xx，yy和和频率域取样间隔频率域取样间隔 uu， vv 之间的关系为之间的关系为式中在数字图像处理中，图像一般取样为方形阵列， M=N ，那么二维 DFT 可表示为常用的是正、反变换式中常数项均取 l / N 这不影响问题的本质。几个参数3.3.3 二维离散傅立叶变换的性质1）线性设设 F F1 1(u,v)(u,v)和和 F
5、F2 2(u,v)(u,v)分别为二维离散函数分别为二维离散函数 f f1 1(x,y)(x,y)和和f f2 2(x,y)(x,y)的的DFTDFT，则，则式中式中a a，b b是常数是常数2）可分离性将式（3.3.10）分成两部分乘积设式（3.3.13）后面的求和项为：此式表示对每一个 x 值，f(x,y)先沿每一行进行一次一维 傅立叶变换（对比式(3.3.2)）再将F(x,v)沿每一列进行一次一维傅立叶变 换，就可得二维傅立叶变换 F(u,v)，即上述过程用图表示为显然，改为先沿列后沿行分离为两个一维变换 ，其结果是一样的。 即二维离散傅立叶反变换的分离过程与上述相 似，所不同的只是指数
6、项为正。若f(x,y)F(u,v) ，则2）平移性(1) (2)(3) 频移/空移时，幅度不变。 (4) 当u0=v0=N/2时, 即，如果需要将图像频谱的原点从起始点(0,0) 移到图像的中心点 (N/2, N/2 )，只要 f (x,y) 乘 上(-1)(x+y)因子,再进行傅立叶变换即可（a）原始图像 (b) 中心化前的频谱图 (c) 中心化后的频谱图图3.3.3 图像频谱的移动实例 4)周期性和共轭对称性v周期性v共轭对称性5）旋转不变性引入极坐标有：此式表明，如果 f(x,y)在空间域中旋转 0角度后，相应的傅 立叶变换 F(u,v)在频域中也旋转 同一0角。反之亦然。傅立叶变换的旋
7、转性图3.3.5 傅立叶变换的旋转性6）分配性和比例性v分配性v比例性 对于两个标量a和b，有7）平均值二维离散函数的平均值定义如下：将u=v=0带入F(u,v)公式，得所以：8）微分性质定义f(x,y) 的拉普拉斯算子为按二维傅立叶变换的定义，可得：拉普拉斯算子通常用于检测图像的边缘9）卷积定理v连续函数卷积定理两个二维连续函数 f(x,y)和 g (x,y)的卷积定义为设f(x,y) F(x,y)，g(x,y) G(x,y)，则设 离散函数卷积定理其二维离散卷积形式为此形式与连续的基本一样，所不同的是所有变量 x ，y ，u ，v 都是离散量二维离散卷积定理可用下式表示10）相关定理其中一点补充在图像处理中，常以光强度函数显示傅立叶谱。但 许多图像的谱随着频率的增加衰减的很快，因此它 们的高频项变得越来越不清楚，为解决此问题，常 用下面的函数代替|F(u)|
