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1、大学物理 第三次修订本第5章 刚体力学基础 动量矩5.2 5.2 力矩力矩 刚体绕定轴转动微分方程刚体绕定轴转动微分方程一、力矩 力: 改变质点的运动状态,质点获得加速度。 力矩： 改变刚体的转动状态,刚体获得角加速度。 1. 力 F 对z 轴的力矩 hA(力F 在垂直于轴的平面内)1大学物理 第三次修订本第5章 刚体力学基础 动量矩力不在垂直于轴的平面内hAO . 2.力对点的力矩大小方向由右螺旋法则确定。2大学物理 第三次修订本第5章 刚体力学基础 动量矩力对定轴力矩的矢量形式A方向由右螺旋法则确定。3大学物理 第三次修订本第5章 刚体力学基础 动量矩二、刚体绕定轴转动微分方程作用在 上的
2、外力 ，内力 zo在圆规迹切线方向 两边乘以rk，并对整个刚体求和 4大学物理 第三次修订本第5章 刚体力学基础 动量矩其中 称为合外力矩 ；令 ，称为刚体对z轴的转动惯量。内力矩之和为零；则或 5大学物理 第三次修订本第5章 刚体力学基础 动量矩刚体绕定轴转动时，刚体对该轴的转动惯量 与角加速度的乘积等于作用在刚体上所有外 力对该轴力矩的代数和。 刚体绕定轴转动微分方程，或转动定律。刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力 矩成正比,与刚体的转动惯量成反比。6大学物理 第三次修订本第5章 刚体力学基础 动量矩两个定律在形式上对应, 都是反映瞬时效 应的。(2) m反映质点的平动惯性，J 则反映
3、刚 体的转动惯性。(1) 转动定律与牛顿第二定律比较：讨论 7大学物理 第三次修订本第5章 刚体力学基础 动量矩三、转动惯量刚体质量不连续分布刚体质量连续分布确定转动惯量的三个要素:(1) 总质量； (2) 质量分布； (3) 转轴的位置。8大学物理 第三次修订本第5章 刚体力学基础 动量矩1. J 与刚体的总质量有关 例如, 等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转 动惯量。LzOxdxM9大学物理 第三次修订本第5章 刚体力学基础 动量矩2. J 与质量分布有关 例如, 圆环绕中心轴旋转的转动惯量。dlOm R10大学物理 第三次修订本第5章 刚体力学基础 动量矩例如 圆盘绕中心轴旋转的转动惯量。
4、ROmrdr11大学物理 第三次修订本第5章 刚体力学基础 动量矩3. J 与转轴的位置有关 OLxdxMzLOxdxMz12大学物理 第三次修订本第5章 刚体力学基础 动量矩4. 平行轴定理 zL CMz刚体绕任意轴的转动惯量；刚体绕通过质心的轴的转动惯量；两轴间垂直距离。13大学物理 第三次修订本第5章 刚体力学基础 动量矩5. J 的计算（1）按定义计算例1求长为L质量为m 的均匀细棒对图 中不同轴的转动惯量。ABLxdm解: 取如图坐标，dm = dx14大学物理 第三次修订本第5章 刚体力学基础 动量矩ABL/2L/2Cxdm15大学物理 第三次修订本第5章 刚体力学基础 动量矩求图
5、所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的 转动惯量如何计算？(棒长为L、圆盘半径为R）.(棒对边缘轴) (圆盘对中心轴)(圆盘对棒边缘轴)16大学物理 第三次修订本第5章 刚体力学基础 动量矩(2) 用平行轴定理、迭加法(3) 实验法如三线扭摆法。J = J 大 J 小J = J 大 + J 小OMR.17大学物理 第三次修订本第5章 刚体力学基础 动量矩例2 求质量为m、半径为R、厚为h 的均匀圆盘 的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解: 取半径为r宽为dr 的薄圆环:圆环质量:圆环转动惯量:.Rhr18大学物理 第三次修订本第5章 刚体力学基础 动量矩转动惯量与 h无关. 实心圆 柱对其轴的
6、转动惯量也是圆盘转动惯量:圆盘密度:.Rhr19大学物理 第三次修订本第5章 刚体力学基础 动量矩例3 求质量为m、半径为R 的均匀圆环的转动 惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。解：J 是可加的,若为薄圆筒（不计厚度）结 果相同。ROdm20大学物理 第三次修订本第5章 刚体力学基础 动量矩(1) 飞轮的角加速度。四、转动定律的应用举例求:例1一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞 轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉 力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kgm2, 飞轮与转轴间的摩擦不计 。(2) 如以重量P =98 N的物体挂在 绳端,试计算飞轮的角加速度。 21大学物理 第三次修订本第5章
7、刚体力学基础 动量矩解 (1)(2)两者区别?22大学物理 第三次修订本第5章 刚体力学基础 动量矩例2 一定滑轮质量为 m，半径为 r , 不能伸 长的轻绳两边分别系 m1 和 m2 的物体挂于 滑轮上, m1 m2, 绳与滑轮间无相对滑动。 设轮轴光滑无摩擦, 滑轮的初角速度为零。求:滑轮转动角速度随时间变化的规律。23大学物理 第三次修订本第5章 刚体力学基础 动量矩解:以m1 ,m2 ,m 为研究对象,受力分析滑轮 m：m1：m2：24大学物理 第三次修订本第5章 刚体力学基础 动量矩例3一根长为l、质量为 m 的均匀细直棒, 其一 端有一固定的光滑水平轴, 因而可以在竖直平 面内转动。最初棒静止在竖直位置, 由于微小 扰动, 在重力作用下由静止开始转动。 求:它由此下摆角 时的角加速度和角速度。Pl /2Ol25大学物理 第三次修订本第5章 刚体力学基础 动量矩解: 棒下摆为加速过程, 外力矩 为重力对O的力矩。重力作用在 棒重心, 当棒处在下摆 角时, 重 力矩大小为： 重力对整个棒的合力矩与全 部重力集中作用在质心所产生 的力矩一样。 因此棒绕轴O的 转动惯量为：Pl /2Ol26大学物理 第三次修订本第5章 刚体力学基础 动量矩棒处于角时：而作变换：两边积分：角速度：27
