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1、土木工程学科的专业基础课 工 程 力 学第第 4 4 章章平面力系的简化 与平衡方程4-1 平面任意力系向一点的简化 1. 力系向作用面内一点的简化 主矢和主 矩F3F1F2OOFRMOOF2 M2F2 =F2 M2=MO(F2) 简化中心简化中心O OF3M3F3 =F3 M3=MO(F3) F1M1F1 =F1 M1=MO(F1) （续）FR=F1+F2+F3= F1+F2+F3 MO=M1+M2+M3=MO(F1)+ MO(F2) + MO(F3)主矢FR MO主矩OxyMOFR平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心。这个力
2、偶的矩等于力系对于点O的主矩。（续）主矢：主矩：4-2 平面任意力系简化结果讨论 F FR R=0=0，MMO O= =0 0 F FR R 0 0，MMO O=0=0 F FR R 0 0，MMO O 00 （1 1） 平面任意力系简化为一个力偶的情形平面任意力系简化为一个力偶的情形 F FR R=0=0，MMO O00 因为力偶对于平面内任意一点的矩都相同，因此当力 系合成为一个力偶时，主矩与简化中心的选择无关。 F FR R=0=0，MMO O00 （续）（2 ） 平面任意力系简化为一个合力的情形 F FR R 0 0，MMO O 00 合力的作用线通过简化中心 F FR R 0 0，M
3、MO O=0=0 O FROFRFRdFROMoO FROOd（续）（3）合力矩定理及其应用： 平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩 等于力系中各力对同一点矩的代数和。MO(FR) = FRd = MO = MO(Fi)MO(FR) = MO(Fi)1）当力臂不好确定时，将该力分解后求力矩；2）求分布力的合力作用线位置。4-3 平面任意力系的平衡条件 只有当主矢与主矩都等于零时，力系才能平衡。F FR R=0=0MMo o=0=0 平衡方程平面任意力系平衡的解析条件：所有各力在两个任 选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各 力对于任意一点矩的代数和也等于零。（续） 几点说明：（1）三个
4、方程只能求解三个未知量；（2）二个投影坐标轴不一定互相垂直，只要不平 行即可；（3）投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直 ；（4）力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的交 点。（5）平衡方程除了上述的“一矩式”，还有“二矩式” 和“三矩式”。4-3 平面任意力系平衡方程的形式基本形式（一力矩式）基本形式（一力矩式）二力矩式二力矩式（x 轴不得垂直于A、B 两点的连线）三力矩式三力矩式（A、B、C 三点不得共线） 思考：有三投影式吗 ？FRB A例题1已知：P8kN，m4kN.m 求：A、B处的反力。 解：取刚架AB为研究对象，则4m2.5m2.5mPmABPmABFBFAxFAy例题2已知：如
5、图，a=4m，r=1m，P=12kN 求：A、B处的反力。解：取图示部分为研究对象。PADE BCrFBxFByFA PADE BC aara例题3已知：如图，a=4m，r=1m，P=12kN 求：A、B处的反力。 解：取梁图示部分为研究对象。PADEBCaar45FTEPADBrFAxFAyFB45例题4已知：如图，a=3m，q=4kN/m，P=12kN 求：A处的反力。 解：取刚架AB为研究对象。 （可求得 F112kN，F2=6kN）PAqBFAxFAyMAF1F2PAqaaaaB例题5已知：F， 求：物块M的压力。 解：取图示部分为研究对象。假设BCaBMFACDFBABFCEFM4-
6、4 平面平行力系的平衡方程二个方程只能 求解二个未知量yxoF3F2 F1Fn（A、B两点的 连线不得与各力 平行）二力矩式二力矩式例题6已知：F = 2kN，q = 1kN/m； 求： A、B支座反力。 解：取梁ABCD为研究对象。D1m2m1mABCFq：合力：合力例题7求欲使起重机满载和空载时均不翻倒，平衡锤的重量 。P2P1ABPbealF FNBNBF FNANA解：取起重机为研究对象（1）满载时，其限制条件是：FNA0（2）空载时，其限制条件是：FNB0因此，P2必须满足：4-5 物体系的平衡问题静定体系：未知量数目等于独立平衡方程数目 。 超静定体系：未知量数目多于独立平衡方程数
7、 目。PABFBFAPABCFAFBFCD1m2m1mABCFqEPAQCBDE（续） 物体系处于平衡时，体系中的每一个物体 也必定处于平衡状态。n 个物体可以写出 3n个独立的平衡方程，求解3n个未知量。 构思合理的解题思路，恰当选取分离体和 恰当选择平衡方程，选择适当的投影轴和 矩心，避免解联立方程。 正确分析物体系整体和各局部的受力情况 及其联系，多次选取有效的分离体，列出 独立的平衡方程，解出所要求的未知量。例题8已知：P=0.4kN，Q=1.5kN，sin=4/5， D,E为中点， ABl ， 求：支座A、C的反力。 解：(1) 取整体为研究对象。由式解得(2) 取AB为研究对象。P
8、ABFBxFByFAxFAyAQCBPDEFAxFAyFCxFCy解得: 代入（3）式，得例题9求：A、C的约束反力和DC杆内力。 解: (1)取图示BC和圆盘为研究对象。DBPACHL aa45raFDCDBHPF1（续）（2）取图示部分为研究对象。PF1FCF FAxAxF FAyAyDBCH45例题10 已知:a=2m；q=3kN/m 求支座A、D反力。 解：取AB部分为研究对象qABCDaaaFByFBxFAyFAxqABCDq ABFAyFAxFDyFDx取整体为研究对象例题11求：A、E的约束 反力和BC杆内力。 解：(1) 取整体为研究对象EqaaaaaABCDCDqFDxFDy
9、FCFEFAyFAx解得 ：(2) 取折杆CD为研究对象解得：例题12已知：M = 10kNm； 求：支座A反力和C的内力 。1m1mAC1m1mMqBBCqMCAq解：(1) 取BC为研究对象解得:解得:FAxFAyMAFBMMCAqFAxFAyMAFCxFCyFB(2)(2)取取ACAC为研究对象为研究对象例题13求：A、D的约束反力。 解：(1)取BC杆为研究对象PPABCDaaaa2a2a解得 ：(2)取AB杆为研究对象代入（3）式解得：PFBxFByFCyFCxBCFAyPFAxAB解得：例题14已知：q=50kN/m； 求：A、B的约束反力。q MABCDEH2m2m2m2m1m1
10、mFDxFDyFNEHqMEDFCxFCyFNBBCD解：(1) 取DE杆为研究对象(2) 取BDC杆为研究对象(3) 取整体为研究对象,100kNkN,3110=AyAx0=AMFF解得：课堂练习求：A、E、D处的反力。 ABDPqMCE2aaaABPqE FBCFDFCBDMC课堂练习求：A处的反力。q ABC2aaaaaPDq ABC2aaaaaPD课堂练习求：A、D、B的约束反力。aBCDAGEPaaaFCxFCyFBxFByaBCDAFEaaaM(c)aBCDAFEPaaa(b)aBCDAFEaaaM (d)作业布置9月25日 P.62 4-1，4-2，4-3(a)，4-6(b)，4-10；9月28日 P.65 4-14，4-15，4-16，4-17，4-19；
