《数字图像处理 第3章 图像信号的正交变换 北邮出版社 2008 10》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数字图像处理 第3章 图像信号的正交变换 北邮出版社 2008 10（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第3章 图像信号的正交变换v3.1 离散傅立叶变换v3.2 离散K-L变换v3.3 离散余弦变换v3.4 数字图像信号的正交基表示v3.5 沃尔什和哈达玛变换23.1 离散傅立叶变换v3.1.1 一维离散傅立叶变换 设离散序列：离散傅立叶正变换（DFT）：离散傅立叶反变换（IDFT）：3 1.函数及其性质定义：性质：(1) 筛选性质(2) 尺度变化性质4(3) 乘积（取样）(4) 卷积性质(5) 变换对5 2. 频率域抽样定理（和时间域的抽样对称）如果函数h(t)的持续时间有限，即：则其傅氏变换H(f)能由其等间隔样本唯一确定：6 3. 一维离散傅立叶变换（略）7 4.离散卷积设x(n)、h
2、(n)是周期为N的周期函数，其离散卷积y(n)是一个周期为N的函数：离散卷积定理：离散相关：离散相关定理：8v3.1.2 二维离散傅立叶变换 1. 二维DFT的定义： f(x,y)x=0,1,M-1；y=0,1,N-1 的DFT:| F(u,v) |幅度谱(u,v) 相位谱9v 【例3.2】图像的幅度谱、相位谱及其重建。 v 相位信息是以一种比较隐蔽的方式出现的，但非常重要，因为相位信息中 携带着图像的位置信息，没有它将无法从频谱还原（IDFT）出原图像。(a) 原始图像(b) DFT的幅度谱(c) DFT的相位谱图3. 2 图像的DFT及其重建(d) 幅度谱重建图像 (e) 相位谱重建图像1
3、0 2. 二维DFT的性质（特性）(1) 变换的可分离性(2) 旋转不变性11v 2）旋转不变性 v 在空间域和频率域引入极座标： v v (3.29) v v f(x,y)在空间域旋转角度0，F(u,v)在频域中也将旋转同一角度0 (a) 原图像 (b) 原图像的频谱 (c) 图像旋转0 角 (d) 频谱也旋转0 度图3.3 图像DFT的旋转不变性 12 3. 二维DFT的实现用两次一维DFT就可以实现二维变换：x，y分别与行、列坐标相对应：用同一个（一维）变换程序：133.2 离散K-L变换K-L变换(Karhunen-Loeve Transform)，从图像的统计性质出发的变换散的K-L
4、变换: 特征向量变换、主分量变换、霍特林(Hotelling)变换，K-L变换式表示为：其中14 K-L变换也有反变换，可以从Y来重建X。由于A矩阵的各行都是正交归一化矢量，所以 ，可得： 优点：K-L变换的最大优点是去相关性能很好， 缺点： 二维K-L变换不是可分离的变换， 它是一种和图像数据有关的变换，必须计算 图像数据的协方差矩阵的特征值和特征向量，计算量庞大， K-L变换难以实际应用。153.3 离散余弦变换v3.3.1 一维DCT DCT变换的基本思想：将一个实函数对称延拓成一个实偶函数，实偶函数的傅立叶变换也必然是实偶函数，DCT变换本质上仍然是傅立叶变换，但只有实数计算，计算简单
5、。 一维DCT的定义：设信号序列为f(x)|x = 0,1, N-1，其离散余弦的正变换：16逆变换:一维DCT的正反变换的变换核：矩阵形式：17v 3.3.2 二维DCT 二维图像信号序列f(x,y)x=0,1,M-1；y=0,1,N-1的二维DCT正变换：二维DCT的逆变换：二维DCT的正反变换的变换核都相同，且是可分离的：18二维DCT的矩阵形式：用两次一维DCT实现图像信号的二维DCT：二维DCT的频谱分布特点：由于DCT相当于对带有中心偏移的偶函数进行二维DFT，因此，其谱域与DFT相差一倍，如图3.3所示。图3.3 DCT与DFT频谱的区别193.4 数字图像信号的正交基表示v3.
6、4.1 变换核的一般表达式正反变换的通用形式：正变换核：g(x,y,u,v) ；反变换核：h(x,y,u,v)。可分离变换：20v3.4.2 变换的矩阵表达式可分离变的矩阵形式：P、Q 是对称阵21v3.4.3 基本图像和基本频谱二维正交变换矩阵的外积形式：矩阵 f 分解成为求和形式：向量外积形式：22 外积: 一个N1向量与另一个1N向量的积，结果为一NN 阶矩阵。 “基本图像”是固定的矩阵（只与该正交变换的阶数有关）；物理意义：以变换域系数作为加权，由外积的组合，或者说由“基本图像”的组合，可以得到原始图像 f 。 “基本频谱” 利用“基本图像”和“基本频谱”，分析频域的分量在空间域像素的
7、贡献（影响），空间域的像素值对频域中频谱分量的贡献（影响）。233.5 沃尔什和哈达玛变换v3.5.1 离散沃尔（Walsh）什变换 包括只有+1和-1两个数值； 完备正交基，计便于算机处理。v 1. 一维离散沃尔什变换 一维离散沃尔什变换核和正变换： 一维离散沃尔什反变换核和反变换：24v 2. 二维离散沃尔什变换 二维沃尔什变换的变换核和正变换 二维沃尔什正变换 二维沃尔什变换的反变换核和反变换（略）25 矩阵表达式【例2】求二维数字图像信号信号的二维沃尔什变换。图像是44矩阵，n=2、N=4二维沃尔什变换为：26v 3.5.2 离散哈达玛(Hadamard)变换 哈达玛变换本质上是一种特
8、殊排序的沃尔什变换， 哈达玛变换核矩阵是一个方阵，只包括+1和-1两个矩阵元素， 哈达玛变换核矩阵的各行或各列之间彼此是正交的， 哈达玛变换核矩阵与沃尔什变换不同之处仅仅是行的次序不同， 哈达玛变换核矩阵具有简单的递推关系，即高阶矩阵可以用二个低阶矩阵求得。27v 1. 一维离散哈达玛变换 一维哈达玛变换核为 一维哈达玛变换式为 例如：28 一维哈达玛反变换核 一维哈达玛反变换 列率：某一列符号改变的次数。通常称为这个列的， 定序哈达玛变换：列率随u增加而增加的次序 定序哈达玛变换核和反变换核29v2. 二维离散哈达玛变换 二维离散哈达玛变换对： 二维哈达玛变换核是可分离和对称的，可分成二步一维变换来完成， 哈达玛变换也存在快速算法FHT，其原理与FWT类似。30
