《河北省2011年高考数学第一轮总复习知识点检测课件：10.7双曲线》由会员分享，可在线阅读，更多相关《河北省2011年高考数学第一轮总复习知识点检测课件：10.7双曲线（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七节 双曲线基础梳理1. 双曲线的定义 （1）平面内动点的轨迹是双曲线必须满足两个条件： 到两个定点 的距离的差的绝对值等于常数2a; 2a小于 （2）上述双曲线的焦点是 ，焦距是 .2. 双曲线的标准方程和几何性质标准 方程图形性质范围对称性对称轴：坐标轴 对称中心：原点对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点 顶点坐标 顶点坐标渐近线离心率 其中实虚轴线段 叫做双曲线的实轴,它的长| |=2a; 线段 叫做双曲线的虚轴,它的长| |=2b;a叫做 双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长 a、b、c 的关系 3. 等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为 (0)，离心率e
2、= ，渐近线方程为y=x.典例分析题型一 双曲线的定义及标准方程【例1】已知动圆M与圆 外切，与圆 内切，求动圆圆心M的轨迹方程.分析 设动圆M的半径为r，则 ,则=定值，故可用双曲线定义求解轨迹方程.解 如图，设动圆M的半径为r，则由已知得 ， .又 (-4,0), (4,0), .根据双曲线定义知，点M的轨迹是以 (-4,0), (4,0)为焦点的双曲线的右 支.a= ,c=4, ,点M的轨迹方程是学后反思 （1）求动点的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹 的曲线类型，再用定义法或者参数法来求轨迹方程. （2）在运用双曲线定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”， 弄清所求轨迹是
3、整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支.举一反三1. 如图，已知圆A的方程为 ,定点C(3,0),求过定点C且和圆A外切的动圆的圆心P的轨迹方程. 解析 依题意得|PA|-|PC|=2.又|PA|PC|,且|AC|=62.由双曲线的定义，知点P的轨迹是以A,C为焦点的双曲线的右支，故点P的轨迹方程为 (x1).题型二 双曲线的几何性质【例2】 为双曲线 （a0,b0）的焦点，过 作垂直于x轴的直线交双曲线于点P且 =30，求双曲线的渐近线方程.分析 由 =30,结合双曲线的定义分析 三边关系，求 出a、b间的关系，进而得出渐近线方程.解双曲线 的渐近线方程为y= x.学后反思 充分利
4、用焦点三角形 中三边关系和双曲线渐近线的定 义,能使问题迅速得到解决.举一反三2. （2009宁夏、海南）双曲线 的焦点到渐近线的距离为（ ）A. 2 B. 2 C. D. 1解析: 双曲线 的焦点坐标为（4，0）、（-4，0），渐近线方程为y= x.由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等，答案:A题型三 直线与双曲线 【例3】(12分)求经过点 且与双曲线4x2-y2=1仅有一个公共点 的直线方程. 分析 将直线方程设出，代入双曲线方程，消y可得关于x的方程，考虑到直 线与双曲线只有一个公共点,因此，必须分所得方程是一次还是二次方程来 讨论求解. 解 若直线的斜率存在，设为k,
5、 则所求直线方程为y-2=kx- ,1 由y-2=k（x- ）, 4x2-y2=1， 2 将代入整理,得 (4-k2)x2-2k（2- k）x- （ k2-2k+5）=0.4 (1)当直线与双曲线相切时，仅有一个公共点， 所以有=0,4-k20,即 -2k（2- k)2-4(4-k2)-( k2-2k+5)=0且k2，解得k= . 故所求的直线方程为y= x+ 7 (2)当k=2时，方程变为一次方程，且有唯一解,因而直线和双 曲线仅有一个公共点，故得到直线方程为y=2x+18 (3)当k=-2时，同理可得直线方程为y=-2x+3,.9（4）当斜率不存在时，因为点 在直线x= 上，且x= 与双曲
6、线只有一 个公共点，故所求直线方程为x= .11 综上所述，符合题意的直线有四条，直线方程分别为y= x+ ,y=2x+1,y= -2x+3和x= .12 学后反思 双曲线与直线的问题，往往需要设出直线方程，与双曲线方程联立 ，转化为方程的根与系数间的关系问题，因此，应注意两个问题： （1）所设直线的斜率是否存在； （2）消元后方程是否一定是二次方程.举一反三3. 已知双曲线C: (a0,b0)，过右焦点F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，l与双曲线C的左、右两支分别相交于点D，E，求双曲线C的离心率e的取值范围.解析：由已知得 ,联立得设D(x1，y1)，E（x2,y2),则D，E在
7、双曲线左、右两支上，x1x22，即e .错解 方程可化为 ,即k=6.错解分析 误认为k0，忘记讨论k的符号.正解 当k0时，方程化为 ,得k=6.当k0,b0),因渐近线的方程为y= x，并且焦点都在圆 上，a=6， ，解得 b=8，双曲线的方程为 .当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为 （a0,b0），因渐近线的方程为y= x，并且焦点都在圆 上，a=8, ,解得b=6,双曲线的方程为.综上,双曲线的方程为 和方法二：设双曲线的方程为 (0),从而有 ，解得=576,所以双曲线的方程为 和12. （创新题）双曲线 （a1,b0）的焦距为2c,直线 过点（a,0）和（0,b）且点（1，0）到直线 的距离与点（-1，0）到直线 的距离之和为s c,求双曲线的离心率e的取值范围.解析：直线 的方程为 ，即bx+ay-ab=0，由点到直线的距离公式，且a1，得点（1，0）到直线 的距离同理可得点（-1，0）到直线 的距离由s c,得整理得解得 ，又e1，e的取值范围是
