浅析“数形结合”思想在高考解题中的应用

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1、浅析“数形结合”思想在高考解 题中的应用首都师范大学数学科学学院 祁权 论文主体内容结构v第一部分： 关于“数形结合”思想v第二部分：“数形结合”思想在我国数学高考 中的应用v第三部分：“数形结合”思想在全国各省市 2008年高考题的体现及分类解析：v第四部分 运用“数形结合”思想切实提高解题 能力第一部分 关于“数形结合”思想v一、“数形结合”思想的历史 v二、什么是“数形结合” v三、“数形结合”的意义 一、“数形结合”思想的历史v“数形结合”由来已久，早在数学被抽象、分离为一 门学科之前，人们在生活中，度量长度、面积和体 积时，就已经把数和形结合起来了。v在宋元时期，我国古代数学家系统地

2、引进了几何问 题代数化的方法，用代数式描述某些几何特征，把 图形中的几何关系描述成代数关系。v17世纪上半叶，法国数学家笛卡尔通过坐标系建立 了数与形之间的联系，创立了解析几何学。后来， 几何学中许多长期不得解决的问题，最终也是借助 于代数方法得到圆满解决。这些都说明了“数形结合 ”思想有着悠久的历史。二、什么是“数形结合” v恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量 的关系与空间形式的科学。”v数形结合就是根据数学问题的条件和结论 之间的内在联系，既分析其代数意义，又 揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划 与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合 在一起，充分利用这种结合，寻找解题思 路，使问题化

3、难为易、化繁为简，从而得 到解决。v数形结合包括“以形助数”和以数辅形”两个 方面。 三、“数形结合”的意义 v数学的研究对象大致可以分成两类：一类是研究数 量关系的；一类是研究空间形式的。v数和形是数学的两个基本概念，全部数学内容大体 就是围绕这两个概念提炼、演变、发展而逐步展开 的。v数形结合在数学发展中的重要意义，正如法国数学 家拉格朗日在数学概要一书中所说：“只要代数 同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用 就狭窄。但是当这两门科学结合成伴侣时，它们就 互相吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐 走向完善。”我国著名数学家华罗庚也曾说过：“数 形结合百般好，隔裂分家万事非。”由

4、此可见形和数 的相互依赖、相互制约的辩证关系第二部分：“数形结合”思想在我国数 学高考中的应用v一、“数形结合”思想方法在高考内容中的体现v二、“数形结合”思想方法在高考中占有非常 重要的地位。一、“数形结合”思想方法在高考内容 中的体现v可以说，用数形结合解题在高中数学各个板 块中都有应用，像函数的图像、方程的曲线 、集合的文氏图或数轴表示等，是 “以形示数 ”。v而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量 的坐标表示则是 “以数助形”，还有导数更是 数形结合的产物，这些都为我们提供了 “数形 结合”的知识平台。二、“数形结合”思想方法在高考中占 有非常重要的地位v巧妙运用数形结合思想解题，不仅

5、直观易于 寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推 理，可起到事半功倍的效果，在选择、填空 题的解答中更能体现其优越性，近年在解答 题中也加重了对数形结合的考查v通过下表2008年各地高考数学理科试卷涉及 数形结合的题目及分值来看，其重要程度不 言而喻。2008年高考数学理科试卷涉及数形结 合的题目及分值统计知识点题号 高考卷种集 合函数不等式 线性规划解析几何立体几何总计 分数全国卷一2，810，1315，2111，16，1859全国卷二13，8514，2112，1954宁夏海南卷1，102411，14，2012，15，1864江苏卷415，18， 204，149，121675广东卷16128

6、，11，185，2065山东卷3，4，1710，11，226，2068第三部分：“数形结合”思想在全国各 省市2008年高考题的体现及分类解析 ： v（一）利用数形结合解决集合问题v（二）利用数形结合解决函数（也包括三角 函数）问题v（三）利用数形结合解决不等式和线性规划 问题v（四）利用数形结合解决解析几何问题v（五）利用数形结合解决立体几何问题（一）利用数形结合解决集合问题v图示法是集合的重要表示法之一，对一些比较抽象的集合问题，在解题 时若借助韦恩图或用数轴、图象等数形结合的思想方法，往往可以使问 题直观化、形象化，从而灵活、直观、简捷、准确地获解。 v1、利用数轴解决集合的有关运算和集

7、合的关系问题如： 当几个 集合的解集是不等式形式，要求它们的交集或并集时，经常借助于数轴 ，把不等式的解集在数轴表示出来，通过数轴观察它们的交集或并集， 这样比较直观。v2、利用韦恩图法解决集合之间的关系问题 一般用圆来表示集合， 两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共 元素若利用韦恩图法则能直观地解答有关集合之间的关系的问题 v例1.（2008北京卷,理1）例 2 .（2008四川卷,理1）v统计：2008全国 1、天津6 、重庆11、上海2、陕西2、 辽宁1、安徽2 、浙江2、江西2山东1、江苏4均为与例1例2相似利用数形结合解答的集 合问题（二）利用数形结合解决函

8、数（也包 括三角函数）的问题v函数的图象是函数关系的一种表示，它是从“形”的方面来刻画函数的变化规律。 函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性， 它是探求解题途径，获得答案的重要工具。函数的图象和解析式是函数关系的主 要表现形式，实质是相同的，在解题时经常要相互转化，在解决函数问题，尤其 是较为繁琐的（如分类讨论、求参数的范围等）问题时要充分发挥图象的直观作 用，从而实现数形结合与转化，简化解题。 v如方程f（x）=g（x）的解的个数可以转换为函数y= f（x）和y=g（x）的图象的 交点个数问题。不等式f（x）g（x）的解集可以转化为函数y=f（x）的图象位

9、于函数y=g（x）的图象上方的那部分点的横坐标的集合。有关三角函数单调区 间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来 处理。 v例3. （2008浙江卷,理5）例4.（2008山东卷，文12）例5.（2008福建卷，理12 ）例6. (2008山东卷、理3) v统计：2008全国 2，6，8、全国 3，8、北京8、天津3，7，9、 重庆4，6， 13、上海4，6，11、陕西7，11、四川3，5，11、 辽宁12，13，16、 浙江5， 8，15、安徽9,11,13、福建4、江西3，6，12、湖南6，10，13，14、 湖北4， 13、山东4，5 广东12、 宁夏海南

10、1，7、 均为函数与图像相结合的典型题目。 （三）利用数形结合解决不等式和线 性规划问题v处理不等式问题时，从题目的条件与结论出发，联系相关函 数，着重分析其几何意义，利用图象的直观性,通过对问题的 定性分析,可以无需进行计算就可以求解，从图形上找出解题 的思路，是为数形结合在解不等式问题中的应用；线性规划 问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找 思路恰好就体现了数形结合思想的应用v例7（2008江西卷,理14）例8（2008年浙江,理17） v统计：2008全国 9、 全国 4、北京2，13、天津8，16 、 上海1，8江西9，14、 山东16、宁夏海南6、 江苏 11v全国

11、13、全国 5、北京5天津2、陕西10、安徽15、浙江 17福建8、湖南3、 广东4、 山东12（四）利用数形结合解决解析几何问 题v圆锥曲线及其解析式是高中阶段的重要知识，数形结合方法在圆锥曲线 中的应用是把问题的数量关系转化为图形的性质问题，或者把图形的性 质转化为数量关系问题，数形结合方法是圆锥曲线解题中一种十分重要 的思维策略。v例9.（2008海南卷，理11）例10（2008广东卷，理18）v统计：2008全国 10，14，15，21全国 9，11，15、21 v 北京4，7天津5，13、 重庆3，7，8，15陕西5，8、 四川4，12， 14辽宁10、 安徽8、 浙江7，11，12

12、福建11，14、 江西15、 湖南8 ，12湖北9、广东11、 山东10，11宁夏海南11，14、 江苏9，12均为 有关利用数形结合解答解析几何的典型题目v （五）利用数形结合解决立体几何问 题v引进向量的方法后，立体几何中用坐标的方法将几 何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究， 可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算。从而大 大简化解题。v例11（2008年安徽卷，理18） v2008山东卷(20) 和2008江苏卷（16）和（22）为 新课标卷灵活应用向量法解立体几何题的代表。第四部分 运用“数形结合”思想切实提 高解题能力v通过以上高考题的解答我们可以很清楚地看到如果 能给数学命题

13、以直观图像的描述，揭示出命题的几 何特征，就能变抽象为形象，就能形成概念的相互 转化，就能使抽象思维与形象思维在解题过程中交 互运用，也就是说数形结合思想的“数”与“形”结合， 相互渗透，把代数式的精确刻画与几何图形的直观 描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使 抽象思维和形象思维有机结合；从而提高解题速度 与质量。那如何准确地运用数形结合思想进行 思考解答数学命题呢？v应用数形结合思想，就是要充分考查数学问题的条件和结论 之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将 数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得 到解决。应用数形结合解题时要注意以下两点：v其一，注意数与

14、形转化的等价性，将复杂的问题转化成简单 、熟知的数学问题，转化前后的问题应是等价的；v其二，注意利用“数”的精确性和“形”的全面性，像判断公共 点个数问题，转化成图形后要保证“数”的精确性，才能得出 正确结论。有些问题所对应的图形不唯一，要根据不同的情 况画出相应的图形后，再进行讨论求解。参考文献：v1 郑国莱.高中生数学辞海.上海人民出版社 2001-05-01v2 裘光明.数学辞海(第1卷) .山西教育出版社 中国科学技术出版社. 2002.8v3邱海泉.浅谈数形结合思想在高中数学中的几点 应用，河北：河北理科教学研究 2005，03，40- 43 v4杨明.浅谈数学思想方法在解题中的应用，河北： 河北理科教学研究 2008，03，39-40. v5徐有标，刘治平.龙门专题：高考中的数学思想 方法龙门书局出版社.2006-8-1