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1、15 1. 一简谐振动的表达式为)3cos( tAx， 已知0t时的初位移为 0.04m, 初速 度为 0.09m s-1，则振幅 A =，初相位= 解：已知初始条件，则振幅为：(m)05.0) 309.0(04.0)(22202 0vxA初相：1.1439.36)04.0309.0(tg)(tg1001或 xv因为 x0 0, 所以9.362. 两个弹簧振子的的周期都是0.4s, 设开始时第一个振子从平衡位置向负方向 运动，经过 0.5s 后，第二个振子才从正方向的端点开始运动，则这两振动的 相位差为。解：从旋转矢量图可见，t = 0.05 s 时，1A 与2A 反相，即相位差为。3. 一物
2、块悬挂在弹簧下方作简谐振动，当这物块的位移等于振幅的一半时，其 动能是总能量的（设平衡位置处势能为零） 。 当这物块在平衡位置时， 弹簧的长度比原长长l, 这一振动系统的周期为解：谐振动总能量221kAEEEpk，当Ax21时4)2(212122EAkkxEp，所以动能EEEEpk43。物块在平衡位置时，弹簧伸长l，则lkmg， lmgk，振动周期 gl kmT224. 上面放有物体的平台，以每秒5 周的频率沿竖直方向作简谐振动，若平台振 幅超过，物体将会脱离平台（设2sm8 .9g） 。 解：在平台最高点时，若加速度大于g，则物体会脱离平台，由最大加速度 gAvAam22)2(得最大振幅为(
3、m)100 .11093.9548.9423 2222vgA5. 一水平弹簧简谐振子的振动曲线如图所示，振子处在位移零、速度为A、加速度为零和弹性力为零的状态， 对应于曲线上的点。振子处在位 移的绝对值为 A、速度为零、加速度为 -2A 和弹性力 -kA 的状态，对应于曲线的点。解：位移0x，速度0 ddAtxv，对应于曲线上的b、f 点；若 |x|=A, Aa2，又xa2, 所以 x = A，对应于曲线上的a、e 点。 6. 两个同方向同频率的简谐振动，其振动表达式分别为：1A1A2Ax0t5.0t5.0ttx0AAabcdef16 )215cos(1062 1tx(SI) 和)5s i n
4、 (1022 2tx(SI) 它们的合振动的振幅为，初相位为。 解：将 x2改写成余弦函数形式：)25cos(102)5sin(10222 2ttx由矢量图可知， x1和 x2反相，合成振动的振幅(m)104102106222 21AAA，初相21三、计算题 1. 一质量 m = 0.25 kg 的物体，在弹簧的力作用下沿x 轴运动，平衡位置在原点 . 弹簧的劲度系数 k = 25 N2 m-1(1) 求振动的周期 T 和角频率 (2) 如果振幅 A =15 cm，t = 0 时物体位于 x = 7.5 cm 处，且物体沿 x 轴反向 运动，求初速 v0及初相 (3) 写出振动的数值表达式解：
5、(1) 1s10/mk1 分 63.0/2Ts 1分 (2) A = 15 cm，在 t = 0时，x0 = 7.5 cm，v0 0 ， 31(3) )3110cos(10152tx(SI) 2分)s(m30.1075.015.0101222 02 0xAv(3) 振动方程为)310cos(1015)cos(2ttAx（SI）2. 在一平板上放一质量为m =2 kg 的物体，平板在竖直方向作简谐振动， 其振动周期为 T = 21s，振幅 A = 4 cm，求(1) 物体对平板的压力的表达式 (2) 平板以多大的振幅振动时，物体才能离开平板？xOA2A11A17 解：选平板位于正最大位移处时开始
6、计时，平板的振动方程为 tAx4c o s(SI) tAx4c o s162(SI) 1 分 (1) 对物体有xmNmg1 分tAmgxmmgN4cos162(SI) 物对板的压力为tAmgNF4cos162(SI) t4c o s28.16 .1922 分 (2) 物体脱离平板时必须N = 0， 由式得1 分 04c o s162tAmg(SI) Aqt2164cos1分 若能脱离必须14cost(SI) 即221021.6)16/(gAm 2 分 3. 一定滑轮的半径为R，转动惯量为 J，其上挂一轻绳，绳的一端系一质量为m 的物体，另一端与一固定的轻弹簧相连，如图所示。设弹簧的倔强系数为k
7、, 绳 与滑轮间无滑动，且忽略摩擦力及空气的阻力。现将物体m 从平衡位置拉下一 微小距离后放手，证明物体作简谐振动，并求出其角频率。 解：取如图 x 坐标，原点为平衡位置，向下为正方向。 m在平衡位置，弹簧伸长x0, 则有0kxmg (1) 现将 m从平衡位置向下拉一微小距离x， m和滑轮 M 受力如图所示。 由牛顿定律和转动定律列方程， maTmg1(2) JRTRT21(3) Ra (4) )(02xxkT(5) 联立以上各式，可以解出xx mRJka22，（） （）是谐振动方程， 所 以物 体 作 简 谐 振 动 ， 角 频 率 为222mRJkRmRJk第二章 波动 (1) 一、选择题
8、xNmgT1 T2 T1 NMgmgm x0 o x JkR18 1. 一平面简谐波表达式为)2(sin05.0xty(SI) ，则该波的频率 v (Hz)、波速 u(m s-1)及波线上各点振动的振幅A(m)依次为 : (A) 2/1，2/1，05.0(B) 2/1，1，05.0 (C) 2/1，2/1，05.0(D) 2，2，05.0解：平面简谐波表达式可改写为(SI)22cos(05.0)2(sin05.0xtxty与标准形式的波动方程)(2cos uxtvAy比较，可得)s(m21,(Hz)21,(m)05.01uvA。故选 C2. 一横波沿绳子传播时的波动方程为)104cos(05.
9、0txy(SI)， 则 (A) 其波长为 0.5 m ; (B) 波速为 5 m s-1 ; (C) 波速 25 m s-1 ; (D) 频率 2 Hz 。解：将波动方程与标准形式)(2cos uxtvAy比较，可知)sm(5. 2),Hz(51uv)m(5.055 .2vu故选 A3. 一平面简谐波的波动方程为)3cos(1.0xty(SI)，t = 0 时的波形曲线如图所示。则 (A) O 点的振幅为0.1 m； (B) 波长为 3 m；(C) a 、b 两点位相差21；(D) 波速为 9 m s-1。解：由波动方程可知(Hz), 23(m),1 .0A(m)2，)s(m32231ua 、
10、b 两点间相位差为：2422ab故选 C 4. 一简谐波沿 x 轴负方向传播，圆频率为，波速为 u。设 t = T / 4 时刻的波形如图所示，则该波的表达式为：)/(cos(A)uxtAy 2)/(c o s (B )uxtAy)/(cos(C)uxtAy)/(cos(D)uxtAy(m)Yu 1.0ab(m)X01.0yuAx0A19 解：由波形图向右移41，可得0t时波形如图中虚线所示。在0 点，0t时 y= -A, 初相 = ， 振动方程为)cos(0tAy。又因波向)(x方向传播，所以波动方程为(SI)(cosuxtAy故选 D5. 一平面简谐波沿 x 轴正向传播， t = T/4
11、时的波形曲线如图所示。若振动以余 弦函数表示，且此题各点振动的初相取到之间的值，则 (A) 0点的初位相为00(B) 1点的初位相为21(C) 2点的初位相为2(D) 3点的初位相为23解：波形图左移4/，即可得0t时的波形图，由0t的波形图（虚线）可知，各点的振动初相为 : 2,0,2,3210故选 D 二、填空题 1. 已知一平面简谐波沿x 轴正向传播，振动周期 T = 0.5 s， 波长 = 10m , 振幅 A = 0.1m。当 t = 0 时波源振动的位移恰好为正的最大值。若波源处为原点，则沿 波传播方向距离波源为2/处的振动方程为。当 t = T / 2 时，4/x处质点的振动速度
12、为。解：波动方程为(SI)1 .02(2cos1.0)(2cosxtxTtAy, m52x处的质点振动方程为)4cos(1.0ty(SI) m5.24x处的振动方程为)4sin(1.0)24cos(1.0tty振动速度)4cos(4.0)4cos(41.0 ddtttyvs25.02Tt时)s(m26.14. 0)25. 04cos(4 .01v2. 如图所示为一平面简谐波在t = 2s时刻的波形图，该谐波的波动方程是 ； P处 质 点 的 振 动 方 程 是。 （该波的振幅A、波速 u 与波长为已 知量） 解：由 t = 2s波形图可知，原点 O 的振动方程 为y u1x0234y u1x0
13、2340tyuAx0A0t(m)y uP(m)xOA20 2)2(2cos0tvAy2)2(2costuvA波向+x 方向传播，所以波动方程为 2)2(2cosuxtuvAy(SI) P 点2x，振动方程为2)2(2cos2)22(2costuAutuAyP3. 一简谐波沿x 轴正向传播。1x 和2x 两点处的振动曲线分别如图(a) 和 (b) 所示。已知12xx且12xx(为波长)，则2x 点的相位1x 比点相位滞后3 /2 。解：由图(a)、(b)可知，1x 和2x 处振动初相分别为：231，02二点振动相位差为 23 21因为1212,xxxx，所以2x 的相位比1x 的相位滞后23。4
14、. 图示一平面简谐波在t = 2 s 时刻的波形图， 波的振幅为0.2 m，周期为 4 s。则图中 P 点处质点的 振动方程为 解：由2s是波形图可知原点O 处振动方程为：) 222c o s (0TtAy)2422c o s (2 .0t)232c o s (2.0t（SI）P 点2x，相位比 O 点落后 ，所以 P 点的振动方程为：)2121c o s (2.0)2321c o s (2 .0ttyp（SI）5. 一简谐波沿 x 轴正方向传播。已知x = 0 点的振动曲线如图，试在它下面画出 t = T 时的波形曲线。 解：由 O 点的振动曲线得振动方程：)22cos(TtAyo向 x 正
15、向传播，波动方程为) 222c o s (xTtAytT 时与 t0 时波形曲线相同，波形曲线如右 图所示。 三、计算题 1. 一平面简谐波沿 x 轴正向传播，波的振幅A = 10 cm，波的角频率 = 7 rad/s.1yt1O(a)2y2Ot(b)P(m)yAO传播方向(m)xuO2/TyTtO2/yx21 当 t = 1.0 s时， x = 10 cm 处的 a 质点正通过其平衡位置向y 轴负方向运动，而 x = 20 cm处的 b 质点正通过 y = 5.0 cm点向 y 轴正方向运动设该波波长 10 cm， 求该平面波的表达式 解：设平面简谐波的波长为，坐标原点处质点振动初相为，则该
16、列平面简谐波 的表达式可写成)/27c o s (1.0xty(SI) 2 分t = 1 s时0)/1 .0(27c o s 1 .0y 因此时 a 质点向 y 轴负方向运动，故21)/1.0(272 分而此时， b 质点正通过 y = 0.05 m处向 y 轴正方向运动，应有 05.0)/2 .0(27cos1.0y且31)/2.0(272分 由、两式联立得 = 0.24 m 1 分3/171 分 该平面简谐波的表达式为31712.07cos1.0xty(SI) 2 分或 3112. 07cos1.0xty(SI) 2. 一平面简谐波沿 x 轴正向传播， 其振幅为 A，频 率为，波速为 u设 t = t时刻的波形曲线如图 所示求 (1) x = 0 处质点振动方程； (2) 该波的表达式 解 ： (1) 设x= 0 处 质 点 的 振 动 方 程
