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1、1第2章 信号与LTI连续时间系统的时域分析2.1 引言 2.2 LTI连续时间系统的数学模型 2.3 系统的单位冲激响应 2.4 卷积 * 2.5 零输入响应2机械工业出版社1、什么是时域分析？系统的数学模型、系统激励与响应都表示为时间的函数，求解系统响应或者分析系统特性完全在时间域里进行。 2、时域分析方法常见两种时域分析方法：微分分析法与卷积法。2.1 引言3机械工业出版社分析步骤：（1）微分分析法 经典时域分析法已知 系统 激励列输出/ 输入微 分方程求微分 方程的 齐次解确定全 响应的 系数+全响应确定边 界条件 求微分 方程的 特解优点：直观、物理概念清楚。不足：能够分析的实际问题
2、有限。4机械工业出版社卷积法建立在LTI系统全响应能够分解为零输入响应和零状态响应之和的认识之上， 以及把冲激函数引入线性系统的理论研究之 中。 分析零状态响应的步骤：（2）卷积法 现代时域分析法已知 系统 激励列写 系统 微分 方程解微分 方程求 单位冲 激响应激励与 冲激响 应卷积 运算零状态 响应5机械工业出版社3、本章学习内容的编排学习习怎样样用时时域卷积积法求零状态态响应应。内容包括：（1）利用算子符号建立单输单输 入/单输单输 出系统统微分方程。（2）什么是单单位冲激响应应？如何解系统统微分方程，求单单位冲激响应应？（3）卷积积的定义义、计计算、性质质及应应用。6机械工业出版社2.
3、2.1 算子符号与传输算子一、算子符号为了在建立系统数学模型的过程中书写和整理方程便捷，引入算子符号替代微分和积分运算 符号。 1、微分算子符号2.2 LTI连续时间系统的数学模型 p 与变量结合7机械工业出版社2、积分算子符号1/p 与变量结合例 在关联联参考方向下，电电感元件的端口伏安关系为为 以及 用算子符号表示为 以及 8 机械工业出版社例 微分方程 可表示为为 p2r(t) + 5pr(t) + 6 r(t) = pe(t) 或者 ( p 2 + 5p + 6 ) r(t) = pe(t) ( p2 + 5p +6 )和 p 被称为为算子多项项式。算子多项项式 在形式上与代数式相同，
4、但本质质上不是代数式，仅仅 仅仅是一种运算符号。9机械工业出版社二、算子符号的运算规则1、算子多项式可进行乘、除运算比如两边边同除( p2 + 7p +12 )，得令 为系统传输算子。 描述单输入/输出的系统微分方程简洁地表示为H(p)r(t)e(t)10机械工业出版社2、算子多项式可因式分解对二阶微分方程( p2 + 7p + 12)r(t) = (2p + 7)e(t)进行因式分解、除运算，并展开为其中11 机械工业出版社说明一个高阶系统可以由若干低阶系统并联构成。r(t)e(t) +r(t)= r1(t)+r2(t)e(t)r1(t)r2(t)把二阶微分方程拆分为两个一阶阶微分方程，分别
5、别是 12 机械工业出版社2.2.2 用算子符号建立系统统微分方程 1、建立系统微分方程的步骤第一步，由已知时域电路模型找出算子电路模型。遵循的原则：电感元件用算子符号Lp或1/Lp表示，电容元件则 用算子符号1/Cp或Cp表示；Lp及1/Cp相当于阻抗， 1/Lp与Cp相当于导纳。其他元件、电路结构、电量的参考方向都保持不变。第二步，根据算子电路模型，运用电路定律、定理和各种分析方法，建立用算子符号表示的微积分 方程或方程组。13机械工业出版社第三步，运用算子多项式的运算规则，化简和整 理方程，得到输入/输出微分方程，或系统传输算子。 2、举例 例 时域电路模型如图所示。输入为电压源vS(t
6、)，输 出为电流i(t)。请写出： （1）系统传输算子H(p)。 （2）系统微分方程。1H111F1i(t)+ vs(t) 14 机械工业出版社p1/pv1v2111i(t)+ vs(t) 把v2(t) = i(t)代入以上两式，解得： （1）系统传输算子为（2）系统微分方程为解：第一步，画算子电路。第二步，列写微分方程 。 选择节选择节 点法。设设参考节节点和节节点电压电压 ，如图图所示。 15机械工业出版社v0(t)a)iS(t )1H2H+-i0(t)22v0(t)b)iS(t )p2p+-i0(t )222+pc)2iS(t )+-+-v0(t)例 电电路如图图a所示，激励为电为电 流
7、源iS(t)。（1）若响应为电压应为电压 vo(t)，求输输入/输输出微分方程。（2）若响应为电应为电 流io(t)，求输输入/输输出微分方程。解：选择等效变换法。简化算子电电路。 16机械工业出版社2+pc)2iS(t)+-+-v0(t)（1）运用分压公式，图c中输出电压为描述vo(t)与iS(t)关系的微分方程为为( p2 + 5p + 2)vo(t) = 4p iS(t) （2）根据图图b，把vo(t) = 2pio(t)代入上式，得io(t)与 iS(t)关系的微分方程 ( p2 + 5p + 2)io(t) = 2 iS(t)17机械工业出版社3、微分方程的一般规律 （1）系统微分方
8、程的阶数等于系统中独立储能元件的个数。 （2）当元件参数都是常数时，构成的系统是LTI连续 时间系统。描述n阶LTI连续时间系统输出r(t)与输 入e(t) 的微分方程为令：D(p) = p n + an-1 pn 1 + + a0N(p) = bm p m + b m-1 pm 1 + + b 0 上式又可表示为 18机械工业出版社n阶LTI连续时间系统的传输算子为（3）在同一个系统中，选取不同的输入与输出，会得到不同的系统微分方程（或传输算子）；但微分方程等式左边的算子多项式都相同。19机械工业出版社设设信号在t = 0接入系统统，信号接入前最后时时刻用t = 0 表示，称为为起始时时刻；
9、信号接入后最初时时刻用t = 0 + 表示，称为为初始时时刻。分析系统统的起点有选选在0时刻与0 +时刻两种系统统模式。10起始条件把系统在t = 0 时刻的一组相互独立的数据称为起始条件，或起始值。起始条件有两种常见选取方法：2.2.3 边界条件 20机械工业出版社（1）选择系统中独立电感的电流iL(0)和独立电容 的电压vC(0) 。 （2）选择r(0)，r(0)，r(k)(0)，r(n-1)(0)。其中，20+初始条件系统统在t = 0+时时刻的一组组相互独立的数据被称 为为初始条件。常见见的选选取方法与起始条件相似。21 机械工业出版社（1）选择选择 系统统中独立电电感电电流iL(0+
10、)和独立电电容电电压压vC(0+) 为为初始值值。如果在t = 0时时刻，没有冲激电电流（或者阶跃电压阶跃电压）作用于电电容，vC(t)不会发发生跳变变；若无冲激电压电压（或阶跃电阶跃电 流）作用于电电感，iL(t)不会发发生跳变变。则则vC(t)和iL(t)在t = 0满满足换换路定律，有（2）选择r(0+)，r(0+)，r(k)(0+)，r(n-1)(0)。22 机械工业出版社3、说明（1）独立边边界条件的个数等于系统统中独立储储能元件的个数，也等于系统统微分方程的阶阶数。 （2）在iL(0)和vC(0) 这组边界条件中只要有一个不为零，系统就存在零输入响应。 iL(0)和vC(0)，或i
11、L(0+)和vC(0)这两组数据不能直接用作解微分方程的边界条件，但其物理概念清楚。 （3）r(k)(0) 与r(k)(0+)这两组数据通常用作解n 阶微分方程的边界条件。23 机械工业出版社2.3 系统单位冲激响应1、单单位冲激响应应（简简称冲激响应应）的定义义在单单位冲激信号d (t)作用下，系统统的零状态态响应应，记为记为 h(t)。n阶阶LTI因果系统统的h(t)满满足以下微分方程:24机械工业出版社2、求解思路根据d (t)的特点，把微分方程分解为t = 0和t 0两 个时间时间 区域，有( pn + an1 pn1 + + a0)h(t) = 0 t 0 (pn +a0)h(t)
12、= (bm pm +bm1pm1+ +b0)d(t) t = 0若n m，先根据齐齐次微分方程求出h(t)的通解， 再求出h(t)的各阶导阶导 函数ph(t)，p2h(t)，pnh(t)， 然后代入t = 0的非齐齐次微分方程，通过过比较较等式两 边边pkd(t)（k =0，1，2，n）的系数，确定通解的 系数，进进而得到唯一解h(t)。25 机械工业出版社3、求解n m微分方程举举例 例 已知描述某因果系统的微分方程为r(t) + 7r(t) + 10r(t) = 21e(t)求该系统的单位冲激响应。解：当激励e(t) = d (t)时，响应 r(t) = h(t)，有h(t) + 7h(t
13、) + 10h(t) = 21d (t) t 0第一步，根据齐次微分方程求h(t)的通解。当t 0时，d (t) = 0，齐次微分方程为h(t) + 7h(t) + 10h(t) = 0特征方程为 26机械工业出版社特征根为: l1 = 2，l2 = 5系统单位冲激响应的通解h(t) = ( k1e2t + k2e5t )u(t)第二步，根据t = 0的非齐次微分方程确定通解的系数。h(t) = (2k1e2t + 5k2e5t)u(t) + (k1e2t + k2e5t)d (t)利用f(t)d(t) = f (0)d(t)的关系，简化上式h(t) = (2k1e2t + 5k2e5t)u(
14、t) + (k1 + k2)d (t)h(t)=(4k1e2t + 25k2e5t)u(t)(2k1+ 5k2)d(t) + (k1+k2)d (t)把h(t)、h(t)、h(t)代入式 h(t) + 7h(t) + 10h(t) = 21d (t)27机械工业出版社整理得( 5k1+ 2k2)d (t) + ( k1+ k2)d (t) = 21d (t)比较等式两边函数d (t)和d (t)的系数，得到方程组解以上方程组，得；k1 = 7，k2 = 7。该系统单位冲激响应为h(t) = 7(e2t e5t )u(t)28机械工业出版社4、求解n m微分方程举举例 思路：当n m时，传输算子
15、H(p)是假分式。先通过长除，把假分式分解为一个p算子多项式与一个真分式传输算子之和的结构，真分式传输算子部分按以上讨论的方法求冲激响应。例 已知描述系统的微分方程为 ( p2 + 5p + 6 )r(t) = ( p2 + 2p + 3 )e(t) 求：系统单位冲激响应h(t)。29 机械工业出版社解：用长长除法分解传输传输 算子 其中 意义：把原系统分解为两个子系统。其中，子系统h1(t)已求出，只需要求子系统h2(t)。h2(t)按前述n m的情况求解。 30机械工业出版社本节主要解决以下几个问题： * 什么是卷积？ * 卷积有何实际意义？ * 如何计算卷积？ * 卷积运算有哪些规律？2.4 卷积31机械工业出版社一、卷积的定义在卷积积分运算中，t是参变量，变化区域(，)；随 t 变化，积分上、下限会发生相应的变化。卷积积分的难点是积分分段和确定积分 上、下限。2.4.1 卷积的定义和意义32机械工业出版社2. 卷积的意义 （1）连续时间信号的冲激函数分解当 f1(t) = e(t)，f2(t) = d (t)时，利用了冲激函数的筛选性，有数学含义：任何连续时间函数与单位冲激函数卷 积等于该函数。 物理意义：任何连续时间信号都能够分解为无限多 冲激函数的线性叠加。或者说，任何连续时间信号 都能由无限多个冲激函数线性叠加构成。33机械工业出版社推导
