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1、 矢量场的环量与旋涡源不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另 一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场 的力 线是闭合的。它有以下两个特点： （1）、对于任何闭合曲面的通量积分为零； （2）、在场所定义的空间中闭合路径的积分不 为零。引入环量与旋度的目的就在于：研究矢量场 的线积分不为零这一问题。五、矢量场的环量与旋度 （一）矢量场的环量 例：磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲 线所围曲面的电流成正比，即：上式建立了磁场与电流的关系。 引入环量概念。矢量场对于闭合曲线L的环量定义 为该矢量对闭合曲线L的线积分，记为：（1)如果矢量场的任意闭合回路的环量恒为零，称该矢量场为无旋场，又称为保守
2、场。 （2)如果矢量场对于任何闭合曲线的环量不为零，称该矢量场为有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。电流是磁场的旋涡源。旋度概念的提出：矢量场的环量给出 了矢量场与积分回路所围曲面内旋 涡源的宏观联系。 为了给出空间任意点矢量场与旋涡源 的关系，当闭合曲线L所围的面积 趋于零时，矢量场对回路L的环量 与旋涡源对于L所围的面积的通量 成正比，即：（二）矢量场的旋度(Rotation) JFn矢量场旋度定义为：矢量场在M点处的旋度 为一矢量，其数值为包含M点在内的小面元 边界的环量与小面元比值极限的最大值， 其方向为极限取得最大值时小面积元的法 线方向，即： 根据线积分的计算公式，不难得
3、到旋度在直角坐 标系中的表达式为: 利用旋度的定义式，可得到一般曲线和曲面积 分之间的变换关系式，即Stokes定理环量积分旋度的面积分（三）、环量与旋度之间的联系Stokes定理 方向相反 大小相等 结果抵消旋度的计算公式圆柱坐标系下旋度的计算公式：圆柱坐标系下旋度的计算公式：球坐标系下的旋度计算公式1.5 矢量场的旋度 （一）、无源场对于矢量场A，如果在场域中每一点处恒有散度 为零，即：则称A为无源场。性质一：在无源场中穿过场域V中任何一个矢量管的 所有截面的通量都相等。性质二：无源场存在矢势。六、无源场和无旋场（二）、无旋场对于矢量场A，如果在场域中每一点处恒有旋 度为零，即：则称A为无
4、旋场。性质一：在无旋场中，A沿场域V的任何闭合路径L 的环量为零。即：性质二：无旋场可以表示为某标量场的梯度场。 （三）、调和场 散度和旋度都等于零的矢量场，称为调和场。根据其无旋性可得：根据其无源性可得：引入Laplacian算子 拉普拉斯方程和泊松方程若矢量场仅为无旋场，例如连续分布的体电荷内部 ，任意点的散度不为零，须引入泊松方程对于矢量场必需考虑如下问题： （1）场的特性：矢量场除有散和有旋特性外 ，是否存在别的特性？ （2）源的特性：是否存在不同于通量源和旋 涡源的其它矢量场的激励源？ （3）场的唯一性：如何唯一的确定一个矢量 场？六、Helmholtz定理1 矢量场的Helmholtz定理空间区域V上的任意矢量场，如果它的散度 、旋度和边界条件为已知，则该矢量场唯 一确定，并且可以表示为一无旋矢量场和 一无源矢量场的叠加，即：其中 为无旋场， 为无源场。 Helmholtz定理明确回答了上述三个问题。即 任一矢量场由两个部分构成，其中一部分是无 源场，由旋涡源激发；并且满足：另一部分是无旋场，由通量源激发，满足：证明：一个标量场的梯度必无旋，一个矢量 场的旋度必无散。正交坐标系下的梯度公式：正交坐标系下的散度计算公式：正交坐标系下的旋度计算公式：
