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1、江苏省扬州中学20112012学年第二学期期中考试高二(理科)数学试卷2012.4 一、填空题 (本大题共14 小题,每小题5 分,共 70 分 )1. 已知 i 是虚数单位,复数522i(1i)2平行六面体1111DCBAABCD中,若1AC=1xABy BCzC C,则zyx3已知事件A与B互斥,且3.0)( AP,6.0)( BP,则)|(BAP4已知随机变量),(pnB,且12)(E,8)(V,则p,n5220(1)x的展开式中 ,若第 4r 项与第 r+2 项的二项式系数相等,则 r= 6在正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F 分别是面BCC1B1和面 CDD1C1的中心,则异
2、面直线 A1E 和 B1F 所成角的余弦值为_7若数列na是等差数列,则数列 naaabnn21也为等差数列,类比上述性质,相应地:若数列nC是等比数列,且nC0,则有nd也是等比数列844320123421,0,1, 2, 3, 4izixza xa xa xa xaaC ia若且则9用数学归纳法证明“ 1213121 1n n*(Nn, n 1)”时,由knk(1)不等式成立,推证1kn时,左边应增加的项数是10.已知:82801282111xaaxaxax其中0,1, 28iai为实常数 , 则1278278aaaa11将数字1,2,3, 4 任意排成一列,如果数字k恰好出现在第k个位置
3、上,则称之为一个巧合,则巧合个数的数学期望是12数学与文学之间存在着许多奇妙的联系. 诗中有回文诗,如: “云边月影沙边雁,水外天光山外树” ,倒过来读,便是“树外山光天外水,雁边沙影月边云”,其意境和韵味读来真是一种享受!数学中也有回文数,如:88,454,7337,43534 等都是回文数,无论从左往右读,还是从右往左读,都是同一个数,称这样的数为“回文数”,读起来还真有趣!二位的回文数有11,22, 33,44,55,66,77,88,99,共 9 个;三位的回文数有101,111,121,131,, ,969, 979,989,999,共 90 个;四位的回文数有1001,1111,1
4、221,, ,9669,9779,9889,9999,共 90 个;由此推测: 10 位的回文数总共有_个.13甲、乙、丙三人站在共有7 级的台阶上 ,若每级台阶最多站2 人,同一级台阶上的人不区分站的位置 ,则不同的站法总数为_14已知两个正数,a b,可按规则cabab扩充为一个新数c ,在,a b c三个数中取两个较大的数 ,按上述规则扩充得到一个新数,依次下去,将每扩充一次得到一个新数称为一次操作 .若0pq,经过 6 次操作后扩充所得的数为(1)(1)1mnqp(,m n为正整数),则mn的值为二、解答题: (本大题共6 小题 ,共 90分 .解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
5、)15已知虚数z 满足44zzi ,且141z z z为实数,求z16. 已知二项式nxx)1 (的展开式中各项系数和为64求 n ;求展开式中的常数项17已知数列na满足11a,且)(924*11Nnaaaannnn求4321,aaaa的值;猜想na的通项公式 ,请证明你的猜想18如图, 在长方体1111ABCDA B C D中,已知4AB,3AD,12AA,E,F 分别是棱AB ,BC 上的点,且1EBFB(1)求异面直线1EC与1FD所成角的余弦值;(2)试在面1111A B C D上确定一点G,使DG平面EFD119某学校设计了一个实验学科的考查方案:考生从 6 道备选题中一次性抽取3
6、 道题, 规定 至少正确完成其中2 道题便可通过,已知6 道备选题中考生甲有4 道能正确完成, 2 道不能完成;考生乙正确完成每道题的概率都是 32,且每题正确完成与否互不影响求甲正确完成的题数的分布列及期望;求乙正确完成的题数的分布列及期望;请用统计知识分析比较两名考生这门学科的水平20.某班级共派出1n个男生和n 个女生参加学校运动会的入场仪式,其中男生甲为领队.入场时, 领队男生甲必须排第一个,然后女生整体在男生的前面,排成一路纵队入场,共有nE种排法; 入场后,又需从男生 (含男生甲) 和女生中各选一名代表到主席台服务,共有nF种选法 . (1)试求nE和nF;(2)判断nEln和nF
7、的大小(Nn) ,并用数学归纳法证明. 高二(理科)数学期中试卷参考答案2012.4 一填空题A D E C B D11 C1B1A1F G (第 18 题图)1.0 ; 21;3 43;436, 31;54;6 61;7n nCCC21812 i;9应增加的项数为k2;101024 , 11解:的所有可能值为0,1,2,4,且 2499)0(44AP,)1(P 3124414AC,41 )2(4424AC P, 241 )4(4444AC P,所以1 2414 412 311 2490)(E,所以巧合数的期望为1129000013336 1421 二 解答题153322zizi或16.解:令
8、1x,则展开式中各项系数和为n2,642n解得6n该二项展开式中的第1r项为2366661)1()(rrrrrrxC xxCT,令0 236r,则2r,此时,常数项为15263CT17 解: 由92411nnnnaaaa得 41 2 4291nnnnaaa a, 求得 719 , 513 , 37432aaa猜想 1256nn an证明:当1n时,猜想成立。设当kn时)(Nk时,猜想成立,即 1256kkak,则当1kn时,有1)1(25)1(612164 12561 2 41 21kkkkkkaakk,所以当1kn时猜想也成立,综合,猜想对任何Nn都成立18解:(1)以D为原点,DA,D C
9、,1D D分别为x 轴, y 轴, z 轴的正向建立空间直角坐标系,则有(0, 0, 0)D,1(0, 0, 2)D,1(0, 4, 2)C,(3, 3, 0)E,(2, 4, 0)F,于是1(3,1, 2)EC,1(2,4, 2)FD设1EC与1FD所成角为,则11222222 11(3)(2)1(4)2221 cos 14|(3)12(2)(4)2ECFDECFDz y D C DCBAG 异面直线1EC与1FD所成角的余弦值为2114(2)因点G在平面1111DCBA上,故可设)2,(yxG)2,(yxDG,1(2,4, 2)FD,(1,1, 0)EF由10,0D GFDD GEF得 ,
10、0,0442yxyx 解得. 32, 32yx故当点G在面1111DCBA上,且到11DA,11DC距离均为 32时,DG平面EFD119解:随机变量的所有可能值为1,2,3,且 51)1(362214CCC P,53 )2(361224CCC P, 51 )3(360234CCC P所以的分布列为所以2 513 532 511)(E随机变量的所有可能值为0,1,2,3,且)(kPkkkC33) 31 () 32 (,k0,1,2,3,所以 271) 31() 32()0(3203CP, 276) 31() 32()1(2113CP,2712) 31() 32()2(1223CP, 278)
11、31() 32()3(0333CP列为所以的分布所以2 2783 27122 2761 2710)(E由于随机变量、的期望相同,所以考虑随机变量、的方差,2221312()(21)(22)(23) 5555V,或()V 52)1()(2NNnNMNnM1 2 3 P 27127627121 2 3 4 P27127627122782222161282()(20)(21)(22)(23) 272727273V或212()(1)3 333Vnpp,()V()V另外,还可以考虑两人至少完成2 道题的概率,)2(P)2(P所以,从统计的角度可以判断考生甲这门学科的水平更好20解: (1)2 !nnnn
12、nEAAn,111(1)nnnFCCn n. (2) 因 为l n2 l n! ,(1 )nnEnFn n, 所 以11ln02EF,22lnln 46EF,33lnln 3612,EF, 由此猜想: 当*nN时,都有lnnnEF,即2ln!(1 )nn n. 下面用数学归纳法证明2 ln!(1)nn n(*nN) . 1)当1n时,该不等式显然成立. 2)假设当*()nk kN时,不等式成立,即2 ln!(1)kkk,则当1nk时,2 ln (1) !2 ln (1)2 ln!2 ln (1)(1kkkkkk,要证当1nk时不等式成立 .只要证:2 ln(1)(1)(1)(2)kk kkk,只要证:ln(1)1kk. 令()ln,(1,)fxxx x,因为1 ()0x fx x,所以()fx在(1,)上单调递减,从而()(1)10fxf,而1(1,)k,所以ln(1)1kk成立 . 则当1nk时,不等式也成立. 综合 1)、2)得原不等式对任意的*nN均成立 .