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1、江苏省扬州中学20112012学年第二学期期中考试高二（理科）数学试卷2012.4 一、填空题 （本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分 ）1. 已知 i 是虚数单位，复数522i(1i)2平行六面体1111DCBAABCD中，若1AC=1xABy BCzC C，则zyx3已知事件A与B互斥，且3.0)( AP，6.0)( BP，则)|(BAP4已知随机变量),(pnB，且12)(E，8)(V，则p，n5220(1)x的展开式中 ,若第 4r 项与第 r+2 项的二项式系数相等,则 r= 6在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F 分别是面BCC1B1和面 CDD1C1的中心，则异
2、面直线 A1E 和 B1F 所成角的余弦值为_7若数列na是等差数列，则数列 naaabnn21也为等差数列，类比上述性质，相应地：若数列nC是等比数列，且nC0，则有nd也是等比数列844320123421,0,1, 2, 3, 4izixza xa xa xa xaaC ia若且则9用数学归纳法证明“ 1213121 1n n*(Nn， n 1)”时，由knk(1)不等式成立，推证1kn时，左边应增加的项数是10.已知：82801282111xaaxaxax其中0,1, 28iai为实常数 , 则1278278aaaa11将数字1，2，3， 4 任意排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置
3、上，则称之为一个巧合，则巧合个数的数学期望是12数学与文学之间存在着许多奇妙的联系. 诗中有回文诗，如： “云边月影沙边雁，水外天光山外树” ，倒过来读，便是“树外山光天外水，雁边沙影月边云”，其意境和韵味读来真是一种享受！数学中也有回文数，如：88，454，7337，43534 等都是回文数，无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“回文数”，读起来还真有趣！二位的回文数有11，22， 33，44，55，66，77，88，99，共 9 个；三位的回文数有101，111，121，131，, ，969， 979，989，999，共 90 个；四位的回文数有1001，1111，1
4、221，, ，9669，9779，9889，9999，共 90 个；由此推测： 10 位的回文数总共有_个.13甲、乙、丙三人站在共有7 级的台阶上 ,若每级台阶最多站2 人,同一级台阶上的人不区分站的位置 ,则不同的站法总数为_14已知两个正数,a b,可按规则cabab扩充为一个新数c ,在,a b c三个数中取两个较大的数 ,按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作 .若0pq，经过 6 次操作后扩充所得的数为(1)(1)1mnqp（,m n为正整数），则mn的值为二、解答题： （本大题共6 小题 ,共 90分 .解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
5、）15已知虚数z 满足44zzi ，且141z z z为实数，求z16. 已知二项式nxx)1 (的展开式中各项系数和为64求 n ；求展开式中的常数项17已知数列na满足11a，且)(924*11Nnaaaannnn求4321,aaaa的值；猜想na的通项公式 ,请证明你的猜想18如图， 在长方体1111ABCDA B C D中，已知4AB，3AD，12AA，E，F 分别是棱AB ，BC 上的点，且1EBFB（1）求异面直线1EC与1FD所成角的余弦值；（2）试在面1111A B C D上确定一点G，使DG平面EFD119某学校设计了一个实验学科的考查方案：考生从 6 道备选题中一次性抽取3
6、 道题， 规定 至少正确完成其中2 道题便可通过，已知6 道备选题中考生甲有4 道能正确完成， 2 道不能完成；考生乙正确完成每道题的概率都是 32，且每题正确完成与否互不影响求甲正确完成的题数的分布列及期望；求乙正确完成的题数的分布列及期望；请用统计知识分析比较两名考生这门学科的水平20.某班级共派出1n个男生和n 个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生甲为领队.入场时， 领队男生甲必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有nE种排法； 入场后，又需从男生 （含男生甲） 和女生中各选一名代表到主席台服务，共有nF种选法 . （1）试求nE和nF；（2）判断nEln和nF
7、的大小（Nn） ，并用数学归纳法证明. 高二（理科）数学期中试卷参考答案2012.4 一填空题A D E C B D11 C1B1A1F G （第 18 题图）1.0 ; 21；3 43；436, 31；54；6 61；7n nCCC21812 i；9应增加的项数为k2;101024 , 11解：的所有可能值为0，1，2，4，且 2499)0(44AP，)1(P 3124414AC，41 )2(4424AC P， 241 )4(4444AC P，所以1 2414 412 311 2490)(E，所以巧合数的期望为1129000013336 1421 二 解答题153322zizi或16.解：令
8、1x，则展开式中各项系数和为n2，642n解得6n该二项展开式中的第1r项为2366661)1()(rrrrrrxC xxCT，令0 236r，则2r，此时，常数项为15263CT17 解： 由92411nnnnaaaa得 41 2 4291nnnnaaa a， 求得 719 , 513 , 37432aaa猜想 1256nn an证明：当1n时，猜想成立。设当kn时)(Nk时，猜想成立，即 1256kkak，则当1kn时，有1)1(25)1(612164 12561 2 41 21kkkkkkaakk，所以当1kn时猜想也成立，综合，猜想对任何Nn都成立18解：（1）以D为原点，DA，D C
9、，1D D分别为x 轴， y 轴， z 轴的正向建立空间直角坐标系，则有(0, 0, 0)D，1(0, 0, 2)D，1(0, 4, 2)C，(3, 3, 0)E，(2, 4, 0)F，于是1(3,1, 2)EC，1(2,4, 2)FD设1EC与1FD所成角为，则11222222 11(3)(2)1(4)2221 cos 14|(3)12(2)(4)2ECFDECFDz y D C DCBAG 异面直线1EC与1FD所成角的余弦值为2114（2）因点G在平面1111DCBA上，故可设)2,(yxG)2,(yxDG，1(2,4, 2)FD，(1,1, 0)EF由10,0D GFDD GEF得 ,
10、0,0442yxyx 解得. 32, 32yx故当点G在面1111DCBA上，且到11DA，11DC距离均为 32时，DG平面EFD119解：随机变量的所有可能值为1，2，3，且 51)1(362214CCC P，53 )2(361224CCC P， 51 )3(360234CCC P所以的分布列为所以2 513 532 511)(E随机变量的所有可能值为0，1，2，3，且)(kPkkkC33) 31 () 32 (，k0，1，2，3，所以 271) 31() 32()0(3203CP， 276) 31() 32()1(2113CP，2712) 31() 32()2(1223CP， 278)
11、31() 32()3(0333CP列为所以的分布所以2 2783 27122 2761 2710)(E由于随机变量、的期望相同，所以考虑随机变量、的方差，2221312()(21)(22)(23) 5555V，或()V 52)1()(2NNnNMNnM1 2 3 P 27127627121 2 3 4 P27127627122782222161282()(20)(21)(22)(23) 272727273V或212()(1)3 333Vnpp，()V()V另外，还可以考虑两人至少完成2 道题的概率，)2(P)2(P所以，从统计的角度可以判断考生甲这门学科的水平更好20解： (1)2 !nnnn
12、nEAAn，111(1)nnnFCCn n. (2) 因 为l n2 l n! ,(1 )nnEnFn n， 所 以11ln02EF，22lnln 46EF，33lnln 3612,EF， 由此猜想： 当*nN时，都有lnnnEF，即2ln!(1 )nn n. 下面用数学归纳法证明2 ln!(1)nn n（*nN） . 1)当1n时，该不等式显然成立. 2)假设当*()nk kN时，不等式成立，即2 ln!(1)kkk，则当1nk时，2 ln (1) !2 ln (1)2 ln!2 ln (1)(1kkkkkk，要证当1nk时不等式成立 .只要证：2 ln(1)(1)(1)(2)kk kkk，只要证：ln(1)1kk. 令()ln,(1,)fxxx x，因为1 ()0x fx x，所以()fx在(1,)上单调递减，从而()(1)10fxf，而1(1,)k，所以ln(1)1kk成立 . 则当1nk时，不等式也成立. 综合 1)、2）得原不等式对任意的*nN均成立 .
