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1、I 1 While I 7 S 2 I + 1 I I + 2 End While Print S(第 4 题)南通市 2015 届高三第二次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题:本大题共14 小题,每小题5 分,共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位置上1 命题“xR, 20x”的否定是“” 【答案】xR, 20x2 设1ii1iab (i为虚数单位,a,bR) ,则ab的值为【答案】 03 设集合11 0 3 2A, , ,21Bx x ,则 AB【答案】1 3,4 执行如图所示的伪代码,则输出的结果为【答案】 115 一种水稻试验品种连续5 年的平均单位面积产量( 单位: t
2、/hm2)如下: 9.8,9.9, 10.1,10,10.2,则该组数据的方差为【答案】 0.026 若函数( )2sin3f xx(0) 的图象与x轴相邻两个交点间的距离为2,则实数的值为【答案】 27 在平面直角坐标系xOy 中,若曲线lnyx在ex(e为自然对数的底数) 处的切线与直线30axy垂直,则实数a的值为【答案】e8 如图,在长方体1111ABCDA BC D 中,AB3 cm,AD2 cm,1AA1 cm,则三棱锥11BABD的体积为cm3【答案】 19 已知等差数列na的首项为4,公差为 2,前n项和为nS 若544kkSa( kN ) ,则k的值为【答案】 7A A1B
3、不CB1 不C1 不D1 不D 不(第 8 题)B D C (第 12 题)A A B C D M N Q (第 15 题)10设32( )4(3)f xxmxmxn ( mnR,) 是R上的单调增函数,则m的值为【答案】 611在平行四边形ABCD 中, ACADAC BD3,则线段AC 的长为【答案】312如图, 在 ABC 中,3AB,2AC,4BC,点D在边 BC 上,BAD45,则 tanCAD 的值为【答案】815 713设x,y, z均为大于1 的实数,且z 为x和y的等比中项,则lglg 4lglgzz xy的最小值为【答案】9 814在平面直角坐标系xOy 中,圆1C :22
4、(1)(6)25xy,圆2C :222(17)(30)xyr若圆2C 上存在一点P,使得过点P可作一条射线与圆1C 依次交于点A,B,满足2PAAB,则半径 r 的取值范围是【答案】5 55,二、解答题:本大题共6 小题,共90 分请在答题卡指定区域内作答 . 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 (本小题满分14 分)如图,在四面体ABCD 中,平面BAD平面 CAD ,BAD90M, N , Q 分别为棱AD,BD, AC 的中点(1)求证:/CD平面 MNQ ;(2)求证:平面MNQ平面 CAD 证明: (1)因为M, Q 分别为棱AD, AC 的中点,所以/MQCD ,,2 分
5、又 CD平面 MNQ , MQ平面 MNQ ,故/CD平面 MNQ ,6 分(2)因为M, N 分别为棱AD,BD的中点,所以/MNAB ,又90BAD,故 MNAD ,8 分因为平面BAD平面CAD,平面BAD平面CADAD, 且 MN平面ABD,所以 MN平面 ACD ,11 分又 MN平面 MNQ ,平面 MNQ平面CAD,14 分(注:若使用真命题“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面”证明“ MN平面 ACD ” ,扣 1 分 )16 (本小题满分14 分)体育测试成绩分为四个等级:优、良、中、不及格某班50 名学生参加测试的结果如下:(1)从该班任意抽取
6、1 名学生,求这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率;(2)测试成绩为“优”的3 名男生记为1a ,2a ,3a ,2 名女生记为1b ,2b 现从这5 人中任选 2 人参加学校的某项体育比赛 写出所有等可能的基本事件; 求参赛学生中恰有1 名女生的概率解: (1)记“测试成绩为良或中”为事件A, “测试成绩为良”为事件1A , “测试成绩为中”为事件2A ,事件1A ,2A 是互斥的 . ,2 分由已知,有121923()()5050P AP A,,4 分因为当事件1A ,2A 之一发生时,事件A发生,所以由互斥事件的概率公式,得1212192321()()()()505025P AP A
7、AP AP A,6 分(2)有 10 个基本事件:12()aa,13()aa,11()ab,12()ab,23()aa,21()ab,22()ab,31()ab,32()ab,12()bb,,9 分 记“参赛学生中恰好有1 名女生”为事件B在上述等可能的10 个基本事件中,事件B包含了11()ab,12()ab,21()ab,22()ab,31()ab,32()ab,等级优良中不及格人数5 19 23 3 故所求的概率为63()105P B答: (1)这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率为21 25;(2)参赛学生中恰有1 名女生的概率为3 5,14 分(注:不指明互斥事件扣1 分;不记事
8、件扣1 分,不重复扣分;不答扣1 分事件B包含的 6 种基本事件不枚举、运算结果未化简本次阅卷不扣分)17 (本小题满分14 分)在平面直角坐标系xOy 中,已知向量a( 1,0) , b( 0,2). 设向量xa( 1cos) b,kya1 sinb ,其中 0 .(1)若4k, 6,求 x y的值;(2)若 x/y,求实数k的最大值,并求取最大值时的值 .解: (1) (方法 1)当4k, 6时,123,x,y(44, ) ,,2 分则x y1( 4)23444 3 ,6 分(方法 2)依题意,0a b,,2 分则x y223314242122ababab342144432,6 分(2)依
9、题意,122cos,x,2 sink,y,因为 x/y,所以2(22cos )sink,整理得,1sincos1k,,9 分令( )sincos1f,则( )coscos1sin ( sin )f22 c o sc o s12cos1cos1 . ,11 分令( )0f,得1cos2或 cos1,又 0 ,故2 3.列表:故当2 3时,min( )f3 3 4,此时实数k取最大值4 3 9. ,14 分(注:第( 2)小问中,得到122cos,x,2 sink ,y,及 k 与的等式,各1 分 )18 (本小题满分16 分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆22221 ( 0 )yxaba
10、b的左顶点为A,右焦点为(0)F c,.00( )P xy,为椭圆上一点,且PAPF.(1)若3a,5b,求0x 的值;(2)若00x,求椭圆的离心率;(3)求证:以F为圆心,FP为半径的圆与椭圆的右准线2axc相切 . 解: (1)因为3a,5b,所以2224cab,即2c,由PAPF得,0000132yy xx,即22 0006yxx, ,3 分又22 00195xy,所以2 004990xx,解得03 4x或03x( 舍去 ) ,5 分(2)当00x时,22 0yb ,由PAPF得,001yy ac,即2bac ,故22acac ,,8 分所以210ee,解得51 2e(负值已舍) ,1
11、0 分x y O P A F (第 18 题)203,2 323,( )f0 ( )f极小值3 3 4(3)依题意,椭圆右焦点到直线2axc的距离为2acc,且22 00 221xyab,由PAPF得,00001yy xa xc, 即22 000()yxca xca , 由得,2002()0a bac xax c,解得2202a aacc xc或0xa ( 舍去 ). ,13 分所以22 00PFxcy22 000()xcxca xca0caxa222a aacccaac2acc,所以以F为圆心,FP为半径的圆与右准线2axc相切 . ,16 分(注:第( 2)小问中,得到椭圆右焦点到直线2a
12、xc的距离为2acc,得 1 分;直接使用焦半径公式扣1 分 )19 (本小题满分16 分)设aR,函数( )f xx xaa( 1)若( )f x 为奇函数,求a的值;( 2)若对任意的2 3x, ,( )0f x 恒成立,求a的取值范围;( 3)当4a时,求函数( )yff xa零点的个数解: (1)若( )f x 为奇函数,则()( )fxf x ,令0x得,(0)(0)ff,即(0)0f,所以0a,此时( )f xx x 为奇函数,4 分(2)因为对任意的2 3x,( )0f x 恒成立,所以min( )0f x当0a时,对任意的2 3x,( )0f xx xaa恒成立,所以0a; ,
13、6 分当0a时,易得22( )xaxa xaf x xaxaxa, 在2a,上是单调增函数,在2aa,上是单调减函数,在a,上是单调增函数,当 02a时,min( )(2)2(2)0f xfaa,解得4 3a,所以4 3a;当 23a 时,min( )( )0f xf aa,解得0a,所以 a 不存在;当3a时,min( )min(2)(3)min 2(2)3(3)0f xffaaaa,=,解得9 2a,所以9 2a;综上得,4 3a或9 2a,10 分(3)设( )( )F xff xa ,令( )tf xax xa则( )yf tt taa,4a,第一步,令( )0f tt taa,所以,
14、当ta时,20tata,判别式(4)0a a,解得214 2aaat,224 2aaat;当 ta时,由( )0f t得,即()t taa ,解得234 2aaat;第二步,易得12302attat ,且24aa,若1x xat ,其中2104at,当xa时,2 10xaxt,记2 1( )p xxaxt ,因为对称轴2axa ,1( )0p at,且2 1140at,所以方程2 10tatt有 2 个不同的实根;当 xa时,2 10xaxt,记2 1( )q xxaxt ,因为对称轴2axa ,1( )0q at,且2 2140at,所以方程2 10xaxt有 1 个实根,从而方程1x xa
15、t 有 3 个不同的实根; 若2x xat ,其中2204at,由知,方程2x xat 有 3 个不同的实根; 若3x xat ,当xa时,2 30xaxt,记2 3( )r xxaxt ,因为对称轴2axa ,3( )0r at,且2 3340at,所以方程2 30xaxt有 1 个实根;当 xa时,2 30xaxt,记2 3( )s xxaxt ,因为对称轴2axa ,3( )0s at,且2 334at ,2 340at324160aa,,14 分记32( )416m aaa,则( )(38)0m aaa,故( )m a 为 (4),上增函数,且(4)160m,(5)90m,所以( )0m a有唯一解,不妨记为0a ,且0(45)a,若04aa ,即30 ,方程2 30xaxt有 0 个实根;若0aa ,即30 ,方程2 30xaxt有 1 个实根;若0aa ,即30 ,方程2 30xaxt有 2 个实根,所以,当04aa 时,方程3x xat 有 1 个实根;当0aa 时,方程3x xat 有 2 个实