《江苏省2015-2016学年高中数学二轮专题解析几何》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省2015-2016学年高中数学二轮专题解析几何（47页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 讲直线与圆高考定位高考对本内容的考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题直线与圆的位置关系(特别是弦长问题 )，此类问题难度属于中等，一般以填空题的形式出现， 有时也会出现解答题， 多考查其几何图形的性质或方程知识多为 B 级或 C 级要求真 题 感 悟1(2015 江苏卷 )在平面直角坐标系xOy 中，以点 (1，0)为圆心且与直线mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_解析直线 mxy2m10 恒过定点 (2，1)，由题意，得半径最大的圆的半径 r（12）2（01）22. 故所求圆的标准方程为 (x1)2y22. 答案(x1)2y22 2(201
2、3 江苏卷 )如图，在平面直角坐标系xOy 中，点 A(0，3)，直线 l：y2x4.设圆 C 的半径为 1，圆心在 l 上(1)若圆心 C 也在直线 yx1 上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线的方程；(2)若圆 C 上存在点 M，使 MA2MO，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围解(1)由题设，圆心C 是直线 y2x4 和 yx1 的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在设过 A(0，3)的圆 C 的切线方程为 ykx3，由题意，得|3k1|k211，解得 k0或3 4，故所求切线方程为y3 或 3x4y120. (2)因为圆心在直线 y2x4 上，所以圆 C 的方程为 (xa
3、)2y2(a2)21. 设点 M(x，y)，因为 MA2MO，所以x2（y3）22 x2y2，化简得 x2y22y30，即 x2(y1)24，所以点 M 在以 D(0，1)为圆心， 2 为半径的圆上由题意，点 M(x，y)在圆 C 上，所以圆 C 与圆 D 有公共点，则|21|CD21，即 1a2（2a3）23. 整理得 85a212a0. 由 5a212a80，得 aR；由 5a212a0，得 0a12 5. 所以点 C 的横坐标 a 的取值范围是0，12 5. 考 点 整 合1两直线平行或垂直(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1l2? k1k
4、2.特别地，当直线 l1，l2的斜率都不存在且l1与 l2不重合时， l1l2. (2)两条直线垂直： 对于两条直线 l1，l2，其斜率分别为 k1，k2，则有 l1l2? k1k21.特别地，当 l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零时，l1l2. 2圆的方程(1)圆的标准方程： (xa)2(yb)2r2(r0)，圆心为 (a，b)，半径为 r. (2)圆的一般方程： x2y2DxEyF0(D2E24F0)，圆心为 D 2，E 2，半径为 rD2E24F2；对于二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0 表示圆的充要条件是B0，AC0，D2E24AF0.3直线方程的 5 种
5、形式中只有一般式可以表示所有的直线在利用直线方程的其他形式解题时， 一定要注意它们表示直线的局限性比如，根据“在两坐标轴上的截距相等”这个条件设方程时一定不要忽略过原点的特殊情况而题中给出直线方程的一般式，我们通常先把它转化为斜截式再进行处理4处理有关圆的问题，要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用，如弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形经常用到，利用圆的一些特殊几何性质解题，往往使问题简化5直线与圆中常见的最值问题(1)圆外一点与圆上任一点的距离的最值(2)直线与圆相离，圆上任一点到直线的距离的最值(3)过圆内一定点的直线被圆截得弦长的最值(4)直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线
6、长的最小值问题(5)两圆相离，两圆上点的距离的最值. 热点一直线与圆有关问题微题型 1求圆的方程【例 11】 (2015 广州模拟 )若圆 C 经过(1，0)，(3，0)两点，且与 y 轴相切，则圆 C 的方程为 _解析因为圆 C 经过(1，0)，(3，0)两点，所以圆心在直线 x2 上，又圆与 y轴相切，所以半径为 2，设圆心坐标为 (2，b)，则(21)2b24，b23，b 3. 答案(x2)2(y 3)24 探究提高圆的标准方程直接表示出了圆心和半径，而圆的一般方程则表示出了曲线与二元二次方程的关系， 在求解圆的方程时， 要根据所给条件选取适当的方程形式微题型 2圆的切线问题【例 12】
7、 (2015 重庆卷改编 )已知直线 l：xay10(aR)是圆 C：x2y24x2y10 的对称轴， 过点 A(4，a)作圆 C 的一条切线， 切点为 B，则 AB_解析圆 C 的标准方程为 (x2)2(y1)24，圆心为 C(2，1)，半径为 r2，因此 2a110，a1，即 A(4，1)，ABAC2r2（42）2（ 11）246. 答案6 探究提高(1)直线与圆相切时利用 “切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径 ”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式(2)过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定理处理微题型 3与圆有关的弦长问题【例 13】 (20
8、15泰州调研 )若圆上一点 A(2，3)关于直线 x2y0 的对称点仍在圆上，且圆与直线xy10 相交的弦长为 2 2，则圆的方程是 _解析设圆的方程为 (xa)2(yb)2r2，点 A(2，3)关于直线 x2y0 的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x2y0 上，即有 a2b0，又(2a)2(3b)2r2，而圆与直线 xy10 相交的弦长为 2 2，故 r2212ab2，依据上述方程，解得a6，b3，r252或a14，b7，r2244.所以，所求圆的方程为 (x6)2(y3)252 或(x14)2(y7)2244. 答案(x6)2(y3)252或(x14)2(y7)2244 探究提高涉及直线被圆
9、截得的弦长问题， 一般有两种求解方法： 一是利用半径r，弦心距 d，弦长 l 的一半构成直角三角形，结合勾股定理d222lr2求解；二是若斜率为 k 的直线 l 与圆 C 交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则 AB1k2|x1x2|. 【训练 1】 (2015 全国卷改编 )过三点 A(1，3)，B(4，2)，C(1，7)的圆交 y轴于 M、N 两点，则 |MN|_解析由已知，得AB(3， 1)， BC(3， 9)， 则AB BC3(3)(1)(9)0，所以 ABBC，即 ABBC，故过三点 A、B、C 的圆以 AC 为直径，得其方程为 (x1)2(y2)225，令 x0 得(y2
10、)224，解得 y 122 6，y222 6，所以 |MN|y1y2|4 6. 答案4 6 热点二直线与圆、圆与圆的位置关系【例 2】 (2015 全国卷)已知过点 A(0，1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：(x2)2(y3)21 交于 M，N 两点(1)求 k 的取值范围；(2)若OM ON12，其中 O 为坐标原点，求 MN. 解(1)由题设，可知直线l 的方程为 ykx1，因为直线 l 与圆 C 交于两点，所以|2k31|1k20)可知圆心为 (a，0)，半径为6a2，两圆公共弦所在方程为 (x2y22ax6)(x2y2)4， 即 x1 a， 所以有()6a22 1 aa2 ()3
11、2 ，解得 a1 或1(舍去)答案1 6(2012 江苏卷 )在平面直角坐标系xOy中，圆 C 的方程为 x2y28x150，若直线 ykx2 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆C 有公共点，则 k 的最大值是 _解析圆 C 的标准方程为 (x4)2y21，设圆心 C(4，0)到直线 ykx2 的距离为 d， 则 d|4k2|k21， 由题意知问题转化为d2， 即 d|4k2|k212， 得 0k43，所以 kmax4 3. 答案4 37(2014 新课标全国 卷)设点 M(x0，1)，若在圆 O：x2y21 上存在点 N，使得OMN45 ，则 x0的取值范围是 _解析由题意
12、可知 M 在直线 y1 上运动，设直线 y1 与圆 x2y21 相切于点P(0，1)当 x00 即点 M 与点 P 重合时，显然圆上存在点N( 1，0)符合要求；当 x00 时，过 M 作圆的切线，切点之一为点P，此时对于圆上任意一点N，都有OMNOMP， 故要存在 OMN45 ， 只需OMP45 .特别地， 当OMP45 时，有 x0 1.结合图形可知，符合条件的x0的取值范围为 1，1答案1，1 8 直线2axby1 与圆 x2y21 相交于 A， B 两点(其中 a， b 是实数 )， 且AOB是直角三角形 (O 是坐标原点 )，则点P(a，b)与点 (0，1)之间距离的最小值为_解析根
13、据题意画出图形，如图所示，过点O 作 OCAB 于 C，因为 AOB 为等腰直角三角形，所以C 为弦 AB 的中点，又 OAOB1，根据勾股定理得 AB2，OC1 2AB2 2. 圆心到直线的距离为12a2b22 2，即 2a2b22，即 a21 2b210. 2b2.则点 P(a，b)与点(0，1)之间距离 d（a0）2（ b1）2a2b22b11 2b22b2. 设 f(b)12b22b21 2(b2)2，此函数为对称轴为x2 的开口向上的抛物线，当2b2F1F2)；(2)双曲线： |MF1MF2|2a(2ab0)(焦点在 x 轴上)或y2a2x2b21(ab0)(焦点在 y 轴上)；(2
14、)双曲线：x2a2y2b21(a0，b0)(焦点在 x 轴上)或y2a2x2b21(a0，b0)(焦点在 y轴上)3圆锥曲线的几何性质(1)椭圆： ec a1b2a2；(2)双曲线： ec a1b2a2. 渐近线方程： yb ax 或 ya bx. 4有关弦长问题有关弦长问题， 应注意运用弦长公式及根与系数的关系， “设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算(1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长 P1P21k2|x2x1|或 P1P211 k2|y2y1|. (2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”、“设而不求法”来简化运算. 热点一圆锥曲线的定义和标准方程【例 1】 (1)(2015 福建卷改编 )若双曲线 E：x29y2161 的左、右焦点分别为F1，F2，点 P 在双曲线 E 上，且 PF13，则 PF2等于_(2)(2015 天津卷改编 )已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线过点 (2，3) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y24 7x 的准线上，则双曲线的方程为_解析(1)由双曲线定义 |PF2PF1|2a， PF
