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1、在过去的学习中我们已经掌握了一些求曲线 方程的方法，在求某些曲线方程时，直接确 定曲线上点的坐标x,y的关系并不容易，但 如果利用某个参数作为联系它们的桥梁，那 么就可以方便地得出坐标x,y所要适合的条 件，即参数可以帮助我们得出曲线的方程 f(x,y)0。下面我们就来研究求曲线参数方 程的问题。一、曲线的参数方程1、参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上 任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由方程组（2） 所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方 程(2)就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x,y的变数t叫做参变数，简称参数，相对于 参数方程而
2、言，直接给出点的坐标间关系的 方程叫做普通方程。请用自己的语言来比较一下参 数方程与普通方程的异同点2、圆的参数方程xoyM(x,y )圆周运动是生产生活中常见 的。当物体绕定轴做匀速转 动时，物体中各个点都做匀 速圆周运动，那么怎样刻画 运动中点的位置呢？设圆O的半径为r，点M从 初始位置 出发，按逆时 针方向在圆O上做匀速圆周 运动，点M绕点O转动的角 速度为。以圆心O为原点， 所在直线为x轴，建立直角坐 标系。显然，点M的位置由 时刻t 惟一确定，因此可取t 为参数。r圆的参数方程的一般形式由于选取的参数不同，圆有不同 的参数方程，一般地，同一条曲线， 可以选取不同的变数为参数，因此得
3、到的参数方程也可以有不同的形式， 形式不同的参数方程，它们表示 的曲 线可以是相同的，另外，在建立曲线 的参数参数时，要注明参数及参数的 取值范围。练习 1 已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它化 为参数方程。解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，（x+1）2+（y-3）2=1，参数方程为(为参数)练习（2，1）例2 如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0) 是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速 圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。yoxP MQ(6,0)oxP MQ(6,0)分析：取 为 参数，则圆O的参数方程是 （为参数），当变化是，动点P在定
4、圆O上运动，线段PQ 也随之变动，从而使点M远动，因此点M的运动可以看成是 由角 决定的。于是，选 为参数是适合的。思考：这里定点Q在圆O外，你能判断这个轨迹表示什么曲线呢？如果定点Q在圆O上，轨迹是什么？如果定点Q在 圆O内，轨迹又是什么？3、参数方程和普通方程的互化将曲线的参数方程化为普通方程，有利 于识别曲线的类型。曲线的参数方程和普通方程是曲线 方程的不同形式。一般地，可以通过消 去参数而从参数方程得到普通方程。如 果知道变数x,y中的一个与参数t的关系， 例如 ，把它代入普通方程，求 出另一个变数与参数的关系那么 就是曲线的参数方程 。参数方程和普通方程的互化：（1）普通方程化为参数
5、方程需要引入参数如：直线线L 的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程（t为为参数）在普通方程xy=1中，令x = tan,可以化为为参数方程 （为参数）（2）参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程如：参数方程消去参数可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.参数方程（t为参数）可得普通方程：y=2x-4通过代入消元法消去参数t ,（x0）注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保 持一致。否则，互化就是不等价的. 例3、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？（2）把 平方后减去 得到 因为 所以 因此，与参数方程等价的普通方程是这是
6、抛物线的一部分。所以代入练习、1.将下列参数方程化为普通方程 ：(1)(2)(3)x=t+1/ty=t2+1/t2（1）（x-2）2+y2=9（2）y=1- 2x2（- 1x1）（3）x2- y=2（X2或x- 2）步骤：（1）消参；（2）求定义域。2.求参数方程表示 （ ）（A）双曲线的一支，这支过点（1， ）： （B）抛物线的一部分，这部分过（ 1， ）；（C）双曲线的一支，这支过点（1， ）；（D）抛物线的一部分，这部分过（1， ）分析 一般思路是：化参数方程为普通方程 求出范围、判断。解x2=1+sin=2y， 普通方程是x2=2y，为抛物线。，又02，0x，故应选（B）说明这里切不可
7、轻易去绝对值讨论，平方法是最好的方法。例4 解（1）把 带入椭圆方程，得到于是 由参数 的任意性，可取因此椭圆的参数方程为 （ 为参数 ） 思考：为什么（2）中的两个参数方 程合起来才是椭圆的参数方程？因此椭圆的参数方程为（t为参数）和（2）把代入椭圆方程，得x,y范围围与y=x2中x,y的范围围相同，代入y=x2后满满足该该方程，从而D是曲线线y=x2的一种参数方程 .曲线线y=x2的一种参数方程是（ ）. 注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值 范围保持一致。否则，互化就是不等价的. 在y=x2中，xR, y0，分析:发生了变化，因而与 y=x2不等价；在A、B、C中，x,y的范围都而在中，且以练习:普通方程参数方程引入参数消去参数小 结
