《4.3二次型与对称矩阵的有定性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《4.3二次型与对称矩阵的有定性（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、例1 有称此二次型对应的矩阵称为正定矩阵.4.3 二次型与对称矩阵的有定性考虑二次型是正定二次型.考虑二次型 有称此二次型是相应的矩阵称为半正定矩阵.例2 存在使得半正定二次型.例3 称此二次型是相应的矩阵为负定矩阵.考虑二次型 有负定二次型.例4 有称此二次型是相应的矩阵称为半负定矩阵 .半负定二次型.考虑二次型 存在使得对于具有对称矩阵A如果对任何都有则称二次型 A称为正定矩阵是正定二次型定义4.4 的二次型(负定二次型 )(负定矩阵)对于具有对称矩阵A 如果对任都有则称二次型 A称为半正定矩阵.且至少存在一个 使是半正定二次型.定义4.4 的二次型对于具有对称矩阵A 如果对任都有则称二次
2、型 A称为半负定矩阵.且至少存在一个 使是半负定二次型.定义4.4 的二次型二次型 有 有 且 使得是正定的二次型 有 是负定的二次型 是半正定的二次型 是半负定的有 且 使得例 不是 正定的;(半)(半)也不是 负定的.此时称为不定的.二次型二次型及其矩阵不具有有定性的二次型只有对称矩阵 矩阵谈到矩阵为正定、负定、 半正定、 半负定统称为二次型负定、半正定、半负定.均已隐含它是对称矩阵.才有对应的二次型,及其矩阵的及其矩阵称为不定的 .有定性.故只有对称 才谈的上正定、负定、半正定、半负定,的正定、它对应的二次型对称矩阵A为正定矩阵它对应的二次型对称矩阵A为负定矩阵它对应的二次型对称矩阵A为
3、半正定矩阵它对应的二次型对称矩阵A为半负定矩阵为正定二次型为负定二次型为半正定二次型为半负定二次型例 对任何故二次型为正定二次型.为正定矩阵.当时，对应的矩阵如为正定二次型.故单位矩阵E为正定矩阵.例 对任何故二次型为负定二次型.为负定矩阵.当时，对应的矩阵如为负定二次型.故为负定矩阵.例 对任何故二次型为半正定二次型.为半正定矩阵 .当时，对应的矩阵且至少有一个如为半正定二次型.为半正定矩阵.例 对任何故二次型为半负定二次型.为半负定矩阵 .当时，对应的矩阵且至少有一个如为半负定二次型.为半负定矩阵.对角矩阵为正定矩阵定理4.6的充要条件是如果A正定,证明思路： A正定, 则B也正定. C可
4、逆.要证定理 4.5 设AB由AB 知，设只需证如果A正定,证 由C可逆，方程组 只有零解 . A正定, 所以矩阵B正定.则B也正定.C可逆.定理 4.5 设AB由AB 知，设令给定二次型设该二次型化为:若经过非退化正定， 则也正定 .线性替换矩阵或二次型为正定准则2 定理4.7 准则4 准则1A与单位矩阵E合同.A的特征值都大于零定理4.8准则3 f 的正惯性指标为n以下给出几个 作为判别准则 .存在可逆矩阵C,使得矩阵A为正定矩阵n元二次型f 正定矩阵A为正定矩阵的充分必要 条件,准则5 定义4.5称为矩阵A的顺序主子式.A的顺序主子式都大于零. (定理4.9)矩阵A为正定矩阵的充分必要
5、条件是例 A正定解 该二次型不正定.判别下列矩阵或二次型是否正定二次型对应的矩阵为例 取何值时,解 时，以下二次型为正定二次型对应的矩阵为：当且仅当二次型正定.矩阵A负定都有证都有矩阵(A)正定.故判断一个矩阵是否负定,负定的判别：可以转化为判断它的 是否正定.矩阵 正定.A负定负矩阵负定正定A的顺序主子式负正相间. A的奇数阶顺序主子式 均小于零 ,偶数阶顺序主子式均大于零 .例A是负定矩阵. 注意:矩阵A负定A的顺序主子式负正相间.A的顺序主子式都为负.矩阵A正定A的顺序主子式都为正.定理4.10设二次型 则下列各条件等价：是负定二次型； 的负惯性指数为n；(3)实对称矩阵A合同于(4) 实对称矩阵A的特征值均为负数; (5)实对称矩阵A的奇数阶顺序主子式均小于零, 偶数阶顺序主子式均大于零.作业P195 2（1），4
