参数辨识模型

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1、参数辨识模型1. 引言在数学建模中，经常会遇到这样一类 问题：在确定了问题涉及的关键量和发 现制约问题的基本规律或部分规律后， 可以得到刻划这些关键量之间关系的数 学表达式，但在这些表达式中尚包含若 干未知参数。实际问题往往又提供了某 些表征关键量变化的信息(如某种实验数据等等)。如果利用这些信息，连同刻划 关键量之间的表达式可以确定未知参数 ，则实际问题就迎刃而解了。通常将确定未知参数的过程称为“参 数辨识”，而将上述一类问题的数学描述称 为参数辨识模型。参数辨识模型应用非常广泛，刻划关键量 之间关系的表达式也是多种多样的，既可能是某种代数方程、函数方程，也可能 是微分方程或方程组；未知参数

2、在这些 关系式中也以不同的方式出现；赖以进 行参数辨识的信息更是多种多样的。参数辨识模型与其它数学模型及建 模方法密切相关。例如，当人们对问题 的机理所知甚少时，参数辨识模型蜕变 为回归模型或统计模型。当制约问题的 规律用微分方程描述时，参数辨识模型又与微分方程模型有十分密切的关系。 若需要辨识的参数是某些微分方程的系 数时，这类辨识模型又可称为微分方程 的反问题。有一类专门刻划一个“系统” 中各个部门之间物质的转移和守恒的参 数辨识模型被称为房室模型。解决参数辨识问题的数学方法涉及优化 、微分方程或差分方程的求解、积分变 换等等。2.施肥效果分析1992年全国大学生数学建模竞赛A 题为：某地

3、区作物生长所需的营养素主 要是氮(N)、钾(K)、磷(P)。某作物研究 所在该地区对土豆与生菜做了一定数量 的实验，实验数据如下表所示，其中ha 表示公顷，t表示吨，kg表示公斤。当 一种营养素的肥料变化时，总将另二种 营养素的施肥量保持在第七个水平上。 试分析施肥量与产量之间的关系。生菜：N P K施肥量(kg/ha)产量(t/ha)施肥量(kg/ha)产量(t/ha)施肥量(kg/ha)产量(t/ha)028568411216822428033639211.0212.7014.5616.2717.7522.5921.6319.3416.1214.1104998147196294391489

4、5876856.399.4812.4614.3317.1021.9422.6421.3422.0724.530479314018627937246555865115.7516.7616.8916.2417.5619.2017.9715.8420.1119.40我们仅讨论生菜产量与P肥施肥量之间 的关系。模型的建立基于以下的事实：P 是植物生长的要素之一，土壤中没有P， 植物不可能长成，因而产量为0。另一方 面，若其它营养要素N，K供应充分能满 足植物生长需要，则随着P的施肥量增加 ，植物产量会增加，而产量达到较高水平 时再增加P施肥量引起产量增加的效果比 产量较低时增加同样的施肥量引起产量增

5、加的效果要低。实验数据也揭示了这一特 征。从实验数据可以看出，当N施肥量为 224kg/ha时或K施肥量为372kg/ha时，生 菜产量均处于较高水平，因此可以认为， 此时，N，K能满足生菜生长的需要。因 此N，K施肥量固定在这一水平，P施肥量 变化对产量变化的影响的实验数据就明显 地呈现前述趋势。从数据还可以看出，当P的施肥量为0 时，生菜产量并非为0，这说明土壤中原 来就含有一定的P营养成分。实验数据也证实，P的施肥量再多也不会引起产量的 明显下降。于是可以认为随着P的施肥量 大大增加，生菜产量趋于一个渐近值，称 为极限产量。 模型建立：用y表示生菜产量，P表示P肥的 施肥量。我们选取单调

6、增加、有一条水平 渐近线的函数作为数学模型。例如双曲线 ：显然，当P趋于无穷时，y趋于a，因此参 数a即为极限产量。令y=0，得解得。这表明不施P肥时，土壤中含有的P营 养素相当于施加P肥量。从而得其中b=dP0。至此，问题归结为参数a ，b， P0的辨识。 用Pj (j=1,2,10)表示实验时采用的十种不同 的P肥施肥量， 为对应于施肥量 Pj的生菜实 际产量，若参数 a ，b， P0已知，则当施肥 量为Pj时，生菜的理论产量为(*)。我们可以用使理论产量与实际产量误差 的平方和达到最小的原则来确定a , b , P0 。引入误差平方和函数就可以用求多元函数极值的数值方法， 如高斯牛顿法或

7、直接搜索法求得最小值 点a , b , P0之值即为这些未知参数应取之 值。用Mathematica的Find Minimum函数 或MATLAB的fmins函数也可求得最小值 。利用表中数据，由上述软件可得a30.52,b 189.92, P0 44.34。若对(*)式取倒数得令得 。由上式可见，若设法测得土壤中原来含有的P营养素相当的肥料量P0，参数1，2 可用最小二乘法直接求得，从而得到参数 a，b之值。对于产量与K施肥量的关系，可以类似 得到。但对于产量与N施肥量的关系，必 须另作讨论，因为N肥过量会导致产量显 著下降，用二次函数刻划产量对N施肥量 的依赖关系更为合适。3.薄膜渗透率的

8、测定某种医用薄膜有允许一种物质的分子 穿透它从高浓度的溶液向低浓度溶液扩 散的功能，在试制时需测定薄膜被这种 分子穿透的能力。测定方法如下：用面 积为S的薄膜将容器分成体积分别为VA 和VB的两部分，在两部分中分别注满该 物质的两种不同浓度的溶液。此时，该 物质分子就会从高浓度溶液穿过薄膜向低浓度溶液中扩散。通过单位面积膜分子 扩散的速度与膜两侧溶液的浓度差成正比 ，比例系数K表征了薄膜被该物质分子穿 透的能力，称为渗透率。定时测量容器中 薄膜某一侧的溶液浓度值，以此来确定K 的数值。模型假设：(1)薄膜两侧的溶液始终是均匀的，即 在任何时刻膜两侧的每一处溶液的浓度 都相同；(2)薄膜是双向同

9、性的，即物质从膜的任何 一侧向另一侧渗透的性能是相同的。模型建立：设t时刻，膜两侧溶液的浓度分 别为CA(t)和CB(t) ，初始时刻两侧溶液浓度 分别为A和B ，单位均为mg/cm3。又设B 侧在tj时刻测得的浓度为Cj (j=1,2,N) 。考察时段t , t+t薄膜两侧容器中该物 质质量的变化。以容器的A侧为例，在该 时段物质质量的增量为：VACA(t + t) VACA(t)。另一方面，从B侧渗透至A侧的该物质质量 为：SK(CB CA) t。由质量守恒，这二者应该相等，故有VACA(t + t) VACA(t)= SK(CB CA) t。两边除以 t ，并令 t0得。对B侧类似有。连

10、同初始条件，我们得到了薄膜两侧 溶液浓度满足的微分方程组的初值问 题：。(*)又注意到整个容器的溶液中含有该物质 的质量应该不变，所以VACA(t )+ VBCB(t)=常数= VAA + VBB 。由此解得代入(*)式中的第二式得再利用初始条件CB(0) =B ，即可解得至此，问题归结为利用CB在时刻tj的 测量数据Cj(j=1,2,N)来辨识K， A和 B 。我们可用CB(tj)与Cj的误差平方和 最小的原则来决定。即求函数的最小值点。参数的辨识：引入辨识问题化为求函数的最小值点(K,a,b)。例如，设VA=VB=100cm3,S=10cm2，对容 器的B部分溶液浓度的测试结果如下：tj

11、(s)Cj (10-3 mg/cm2 )100 200 300 400 500 600 700 800 900 10004.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10 6.26 6.39 6.50 6.59此时，极小化的函数为利用MATLAB软件中的fmins函数求得 K=0.01012 ，a=0.007，b=0.003 。进一 步求得A =0.01(mg/cm3)，B =0.004 (mg/cm3) 。4.用放射性同位素测定局部脑血流量问题的提出：脑血流量是诊断和治疗许多脑血 管疾病的主要依据。近年来出现了以 放射性同位素作为示踪剂测定人脑局 部血流量的方法。测量装置主要由安 装

12、多个(8、16或32个)闪烁计数器探头 的头盔和安装一个闪烁计数器探头的 面罩及将闪烁计数器的计数转换成数 字信息并输入计算机的装置。在测试时，用头盔接触受试者头部的固 定位置，令受试者戴上面罩，并让受试者 吸入或静脉注射剂量为500至1000毫居里 的放射性同位素。从此时起由计算机控制 ，自动、定时地记录并存储各个探头(包 括面罩中的探头)的放射性计数率约十分 钟。然后通过计算机处理这些记录数据， 得到每个探头附近区域的脑血流量，即局 部脑血流量。一般采用133Xe作为示踪剂，它随血液的流动而流动，对人体的危害极小，并且 由于衰变引起的放射性计数率的减少可以 忽略不计。如何从测量头部放射性计

13、数率和面罩 中的放射性计数率确定局部脑血流量？模型假设：大脑皮层主要由灰质和白 质组成。血在灰质和白质中 的流量是不同的。实验表明血在灰质中的流量比在白质中的流量大约 高5-10倍。(H1)脑组织由灰质和白质两种成分组成， 单位脑组织中灰质与白质的质量比为w1:w2 (未知)；单位质量的灰质组织中容纳体积 为1的血液，单位质量的白质组织中容纳 体积为2的血液。灰质中的血液不会流入 白质组织，白质中的血液也不会流入灰质 组织。(H2)血液循环处于一种稳定平衡的状态，流入脑组织中的动脉血和流出脑组织进入 静脉的血液量是相等的，不随时间的变化 而变化。(H3) 133Xe随着血液的流动而流动，与脑组

14、 织相结合而停留在脑组织中的示踪剂十分 微少，可以忽略不计；同时在测量过程中 ，由衰变引起的示踪剂放射性减少也可忽 略不计。模型建立：Fick原理：考察单位质量(1克)脑组织中 示踪剂的数量。在这部分脑组织中，放 射性示踪剂数量的改变等于动脉血输入 的示踪剂量与静脉血带走的示踪剂量之 差。现对灰质和白质分别应用Fick原理 。设单位质量灰质和白质血流量分别为 f1和f2，单位为：毫升/克分。即每分钟 从每克脑灰质或脑白质中流出的血液为 f1毫升或f2毫升，又设 t 时刻流入脑组织 的动脉血中放射性示踪剂的浓度为Ca(t) ；时刻t，1克脑组织中灰质血液中的示踪剂 含量和白质血液中的示踪剂含量分

15、别为 Q1(t)和Q2(t)。现建立灰质组织中示踪剂的平衡关系 ，考察时段t , t+t中灰质组织中示踪剂 含量的变化，即Q1= Q1(t+t) Q1(t)。在1克脑组织中，灰质的质量为w1克， t 时间流出的血液体积为f 1w1t ，灰质组织容纳的血液中示踪剂的浓度为 Q1(t)/(1w1)。因此，由静脉血从灰质中带 走的示踪剂量为 f 1w1t Q1(t)/(1w1)= t Q1(t) f1 /1 。 由(H2) ，在这段时间内流入灰质的动脉 血量等于流出灰质的血液量，为f 1w1t， 又由动脉血中示踪剂的浓度为Ca(t) ，于 是由动脉血输入的示踪剂量为f 1w1t Ca(t) 。由Fick原理，有Q1=即Q1(t+t) Q1(t)= f 1w1t Ca(t) t Q1(t) f1 /1。 两边除以t ，令t0，得f 1w1Ca(t) Q1(t) f1 /1 (1)同理可得f 2w2Ca(t) Q2(t) f2 /2 (2)令k1=f1 /1， k2=f2 /2 ，(1)，(2)两式可 以写成 ki Qi= f iwiCa(t), ( i=1,2) (3)注意初始时刻灰、白质中示踪剂含量为0 ：Qi(0)=0,( i=1,2) (4)从(3)，(4)解得。时刻t，1克脑组织中示踪剂的含量为Q(t)=