《【数学】2014-2015学年高二上学期期中考试（文）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【数学】2014-2015学年高二上学期期中考试（文）（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分每小题中只有一项符合题目要求)1直线 x+y1=0 的倾斜角为( )3A30 B60 C120 D150解析 由已知，直线的斜率 k=, 可得倾斜角为 150,故选 D.33答案 D2椭圆的长轴为 2，离心率为 ，则其短半轴为( )12A B C D222323解析 由已知，a=1, = , 所以 c= . 于是 b2=a2-c2= , 从而 b=, 故选 C.ca12123432答案 C3直线 l1：ax2y10 与直线 l2：x(a1)y40 平行，则( )( )Aa1 或 a2 Ba1 或 a2 Ca1 Da2答案 B解析
2、由 a(a1)2 可得 a1 或 a2.经检验，均符合题意。故选 B.4经过抛物线 y24x 的焦点且垂直于直线 3x2y0 的直线 l 的方程是 ( )A3x2y30 B6x4y30 C2x3y20 D2x3y10解析 设垂直于直线 3x2y0 的直线 l 的方程为 2x+3y+c0, 由于直线 l 经过抛物线y24x 的焦点为 F(1,0),所以 c=2。故选 C.答案 C5已知圆 C：x2y2mx40 上存在两点关于直线 xy30 对称，则实数 m 的值为( ) A4 B4 C6 D6解析 圆上存在关于直线 xy30 对称的两点，则 xy30 过圆心，即(m2，0) 30，m6.m2答案
3、 CxyP(1,0.5)O26. 设正数 x，y 满足Error!，则 4x+6y1 的最大值为( )A. 3 B.4 C. 5 D. 6解析 如图，作出可行域，容易得最优解为 P(1,0.5)，将 x=1,y=0.5 代入目标函数 z=4x+6y1 得 6，故选 D答案 D7在焦点分别为 F1、F2的双曲线上有一点 P,若F1PF2 ，|PF2|2|PF1|, 则该双曲线的2离心率等于 ( )A B. C2 D.235解析 不妨设|PF2|2|PF1|2m，则由F1PF2 得 5m2=4c2, m=c. 又由双曲线的定义22 55知|PF2|PF1|=2a, c=a. 离心率 e= =.5c
4、a5答案 D8如图，中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N 是双曲线的两顶点若 M，O，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )A3 B2 C.D.32解析 设双曲线的方程为1，椭圆的方程为1，由于 M，O，N 将椭圆长x2a2 1y2b2 1x2a2 2y2b2 2轴四等分，所以 a22a1，又 e1，e2，所以2.ca1ca2e1e2a2a1答案 B9如图, 过抛物线 x24y 焦点的直线依次交抛物线与圆 x2(y1)21 于点 A、B、C、D，则|AB|CD|的值是 ( )A8 B4 C2 D1解析 法一法一：特殊化（只要考查直线 y=1 时的情形）法二法二
5、：抛物线焦点为 F(0,1)，设直线为 y=kx+1,与 x24y 联立得：y2(4k2+2)y+1=0由于|AB|AF|1yA，|CD|DF|1yB。所以，|AB|CD|yAyB1.答案 D10已知椭圆+1(a0，b0)，M，N 是椭圆上关于原点对称的两点，P 是椭圆上的动x2a2y2b2点，且直线 PM，PN 的斜率分别为 k1,k2, k1k20,若|k1|k2|的最小值为 1,则椭圆的离心率为 ( )3A. D. C. D. 1 3123322解析 设 M(x0，y0)，N(x0，y0)，P(x，y)，则 k1，k2.yy0xx0yy0xx0又M、N、P 都在椭圆+1 上，Error!
6、x2a2y2b2b2(x2x )a2(y2y ) .2 02 0xx0yy0a2b2yy0xx0k2，即|k1|k2|.1k1a2b2b2a2又|k1|k2|2.|k1|k2|2ba，即 2b2a2，2(a2c2)a2，即 2c2a2 ，即 e2 ，e.2ba2c2a2121222答案 D二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案填在题中横线上)11抛物线 yax2的准线方程是 y2，则 a .解析 抛物线的标准方程为 x2 y，由条件得 2，a .1a14a18答案 1812过点 A(1,2)且与圆 x2y21 相切的直线方程是 解析 设切线方程为 y2=k(x1)
7、,即 kxy+2k=0。由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即=1,解得 k= , 其方程为 3x4y+5 =0. 又，当斜率不存在时，切线|2 - k|k2 + 134方程为 x=1。答案 3x4y+5 =0 或 x=113若椭圆1 过抛物线 y28x 的焦点,且与双曲线 x2y21 有相同的焦点，则该x2a2y2b2椭圆的方程是 解析 抛物线 y28x 的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线 x2y21 有相同的焦点，a2，c，c2a2b2，b22，椭圆的方2程为1.x24y22答案 1x24y22勘误：将题干中的“最小 值为 1”改为“
8、最小值为” 。2修改选项可能给考生带来想 像的空间，四个选项都改也显 得不好，因此修改题干合适些。 414已知圆锥曲线1 的离心率等于，则 m x24y2m32解析 当方程表示焦点在 x 轴上的椭圆时，0m4,且 = , 解得 m=1;4m232当方程表示焦点在 y 轴上的椭圆时，4m，且 = , 解得 m=16.m4m32答案 1 或 1615如图，平行光线与水平地面成 30角,已知足球在地面上的影子是椭圆形，则该椭圆的离心率为 解析 已知桌面上有一个球,半径为 R,一束平行光线与桌面成(2)角,则球在桌面上的投影椭圆的离心率cose。如图，1l和2l是两条与球相切的光线，分别切于点 A 和
9、点 C，分别与桌面交于点 B 和点 D，则 AC 就是球的直径，BD 的长就是椭圆的长轴长。过点 A 作 AE/BD，交2l于点E，则 BD=AE。在 RtAEC 中,因为AEC=,所以 AE=sin2R,即sinRa ，又因为Rb ,所以 sincos)sin(22RRRc,所以cose.答案 32注：选修 11 第 25 页对此进行了详细论述三、解答题(本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(本题满分 12 分) 定义直线 y x 为双曲线1(a0,b0)的渐近线。已知圆b ax2a2y2b2C 与双曲线 x2y21 的渐近线相切于点 P(2，2)，
10、且圆心 C 在直线 y3x 上，求圆 C的方程。解析 双曲线 x2y21 的渐近线为 yx法一法一 设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，则有Error!， 解得 a1，b3，r.25圆的方程为(x1)2(y3)22.法二法二 过切点且与 xy0 垂直的直线为 y2x2，与 y3x 联立可求得圆心为(1，3)半径 r，(12)2(32)22所求圆的方程为(x1)2(y3)22.17(本题满分 12 分) 点 M 到点 F(4,0)的距离比它到直线 l: x+6=0 的距离小 2.(1)求点 M 的轨迹方程；(2)若直线 y=x5 与(1)中的轨迹交于 A、B 两点，求线段 AB 的长度。解
11、析 注：选自选修 11 第 37 页例 2(1)法一法一 由题意可知：点 M 到点 F(4,0)的距离与它到直线 l:x+4=0 的距离相等，故点 M 的轨迹是以 F 为焦点的抛物线。由 =4 得 p=8, 所以其方程为 y2=16x.p2法二法二 设 M(x,y)，则由题意可得： +2 = |x+6|, 化简得: y2=16x.(x4)2(y0)2(2)法一法一 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|= = |x1x2| = (x1x2)2(y1y2)21k2|x1x2| 2由Error!得: x226x+25=0所以|x1x2| = =24(x1 + x2)24x1x2576于
12、是|AB|=|x1x2|24。22法二法二 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)由Error!得: x226x+25=0，解得 x1=1, x2=25. 所以 A(1,4)，B(25,20), 从而|AB|= = 24。(125)2(420)2218(本题满分 12 分) 抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线1(a0，b0)的一x2a2y2b2个焦点，并与双曲线的实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为，求抛物线与双曲线的(32， 6)方程解析 由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，所以p2c，所以抛物线方程为 y24cx.因为抛物线过点，所以 64c ，所以 c1.
13、(32， 6)32故抛物线方程为 y24x.6又双曲线1 过点，所以1.x2a2y2b2(32， 6)94a26b2又 a2b2c21，所以代入得1，所以 a2 或 a29(舍)，所以 b2 ，94a261a21434故双曲线方程为 4x21.4y2319(本题满分 12 分) 中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线经过 P( 3,4 )、Q( ，5 )29 4两点。(1) 求双曲线的方程；(2) 设 F1、F2是双曲线的两个焦点, M 是双曲线上位于第一象限的一点,且满足F1MF2=60,求点 M 的坐标。解析 注：选自选修 11 第 44 页 A 组题第 4 题(1) 法一法一 当双曲线的焦点在 x 轴上时，设1(a0, b0), 则x2a2y2b2Error!, 解得：a2=9, b2=16, 舍去；当双曲线的焦点在 y 轴上时，设1(a0, b0), 则y2a2x2b2Error!, 解得：a2=16, b2=9, 所以所求方程为1.y216x29综上，双曲线的方程为1.y216x29法二法二 设双曲线的方程为 Ax2By2=1, 则Error!解得：A= ，B=1 91 16所以所求方程为1.y216x29(2) 如图，设|MF1|=m, |MF2|=n, 则由双曲线的定义及余弦定理可得：Error!, 解得：m=-4, n
