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1、Copyright 2006-2010 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design第一节 多元线性回归(Multiple linear regression) 任务：研究一个依变量与多个自变量间的线性关系：如农作物产量与产量构成因素：穗数、粒数、粒重的关系，病虫害的发生期与生态因素：温度、湿度、雨量的关系。Copyright 2006-2010 Sichuan Agricultural University All Ri
2、ghts Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design一、多元线性回归方程的建立Copyright 2006-2010 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design(一) 数学模型设 y 与x1、x2、xm间存在线性关系 y =0+1x1+2x2+mxm+x1、x2、xm可以观测的一般变量或随机变量；y 可以观测的随机变量；随机变量，相
3、互独立，且都服从N(0,2)。 Copyright 2006-2010 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Designx1x2 xmyx11x21xm 1y1x12x22xm 2y2x1nx2nxm nyn(一) 建立多元线性回归方程设变量 x1、 x2、 、xm (自变量)、y(依变量)有n 组观测数据，见下表，Copyright 2006-2010 Sichuan Agricultural University All
4、Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design假定依变量 y 与自变量x1，x2，xm间存在线性关系，则 y 与x1，x2，xm间的元线性回归方程为：（21 ）Copyright 2006-2010 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design由 n 组实际观测数据，根据最小二乘法的原理确定元线性回归方程中的b0，b1，b2
5、，bm，即b0，b1，b2，bm应使实际观测值与回归估计值的偏差平方和最小。 Copyright 2006-2010 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design令Q为关于b0，b1，b2，bm的m+1元函数。根据微分学中多元函数求极值的方法，若使达到最小，应有 (i=1,2,m)Copyright 2006-2010 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved
6、高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design经整理得Copyright 2006-2010 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design由方程组（2-2）中的第一个方程可得 即其中， Copyright 2006-2010 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Adv
7、anced Biostatistics and Experimental Design若记并将 分别代入方 程组（2-2）中的后m个方程，经整理可得到关 于b1，b2，bm的正规方程组(normal equations)为： Copyright 2006-2010 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design解正规方程组（2-4）即可得b1，b2，bm ，而于是得到元线性回归方程： Copyright 2006-2010
8、Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Designm元线性回归方程的图形为m+1维空间的一个平面 ，称为回归平面(regression plane)；b0称为回归常数项 (regression constant)，当x1=x2= =xm=0时， 在有 实际生物学意义时，b0表示y的起始值；bi (i=1,2,m) 称为依变量y对自变量xi的偏回归系数(partial regression coefficient)，表示除自变量x
9、i以外的其余个自变量都固 定不变时，自变量xi每变化1个单位，依变量y平均变化 的单位数量，确切地说，当bi0时，自变量xi每增加1个 单位，依变量y平均增加bi个单位；当bit0.05(50)、|tb2|F0.01（1,50）, Fb2F0.05（1,50）, Fb3F0.05（1,50）, 表明偏回归系数b1极显著，偏回归系数b2、b3不显著。这与t检验的结果一致。Copyright 2006-2010 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Expe
10、rimental Design也可以把上述偏回归系数显著性检验的F检验与检验结果列成方差分析表的形式。Copyright 2006-2010 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design4、剔除一个自变量并重新建立二元 线性回归方程 对于建立的三元线性回归方程，经显著性检验，回归方程极显著，偏回归系数b1极显著，b2、b3不显著。因为Fb2Fb3，所以剔除自变量x2（胴体长），重新建立瘦肉量y对眼肌面积x1、膘厚x3的二元
11、线性回归方程 。 Copyright 2006-2010 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design根据（2-22）式 计算 和 ， 这里i=2，j=1，3。由（2-23）式计算：于是重新建立的二元线性回归方程为： Copyright 2006-2010 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistic
12、s and Experimental Design现在对二元线性回归方程即二元线性回归关系进行显著性检验 列出方差分析表，进行F检验。Copyright 2006-2010 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design 对新的偏回归系数 和 进行显著性检验 首先应用（2-21）式 计算关于 、 的正规方程组系数矩阵的逆矩阵 的主对角线上的各元素，这里i=2，j、k=1、3。Copyright 2006-2010 Sichu
13、an Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design各个偏回归平方和为 列出方差分析表，进行F检验 。Copyright 2006-2010 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design于是我们得到最优二元线性回归方程为 表明：猪的瘦肉量与眼肌面积、膘厚的线性回归关系极
14、显著。当膘厚保持不变时，眼肌 面积每增加1cm2，瘦肉量平均增加0.1297kg； 当眼肌面积保持不变时，膘厚每增加1cm，瘦 肉量平均减少0.7544kg。该回归方程的离回归标准误 。 Copyright 2006-2010 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design四、最优回归方程的选择最优回归方程指在m元线性回归分析中，包含所有对 y 影响显著的自变量、不包含对 y 影响不显著自变量的回归方程。选择最优回归方程的方法有下面四种：Copyright 2006-2010 Sichuan Agricultural University All Rights Reserved 高级生物统计与试验设计Advanced Biostatistics and Experimental Design1、逐个比较 从所有可能的自变量组合的线性回归方程中挑 选最优者。 如：y，x1、x2、x3、x4包含一个自变量的回归方程，有C41=4个，它们 分别包含：x1；x2；x3；x4。包含二个自变量的回归方程，有C42=6个，它们 分别包含：x1, x2
