斐波那契数列与黄金分割

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1、斐波那契数列与黄金分割1我们先来做一个游戏！2十秒钟加数请用十秒，计算出左 边一列数的和。1 2 3 5 8 13 21 34 55 +89 ?时间到！答案是 231。3十秒钟加数再来一次！34 55 89 144 233 377 610 987 1597 +2584 ?时间到！答案是 6710。4这与“斐波那契数列”有关若一个数列，前两项等于1，而从第三项起，每一项是其前两项之和，则称该数列为斐波那契数列。即：1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 5一、兔子问题和斐波那契数列1 兔子问题1） 问题取自意大利数学家斐波那契的算盘书（1202年）(L.Fibonacci,11

2、70-1250）6兔子问题假设一对初生兔子要一个月才到成熟 期，而一对成熟兔子每月会生一对兔子，那 么，由一对初生兔子开始，12 个月后会有多 少对兔子呢？7解答1 月 1 对8解答1 月 1 对 2 月 1 对9解答1 月 1 对 2 月 1 对 3 月 2 对10解答1 月 1 对 2 月 1 对 3 月 2 对 4 月 3 对11解答1 月 1 对 2 月 1 对 3 月 2 对 4 月 3 对 5 月 5 对12解答1 月 1 对 2 月 1 对 3 月 2 对 4 月 3 对 5 月 5 对 6 月 8 对13解答1 月 1 对 2 月 1 对 3 月 2 对 4 月 3 对 5 月

3、 5 对 6 月 8 对 7 月13 对14解答可以将结果以列表形式给出：1月2月3月5月4月6月7月8月9月11月10月12月1123581321345589144因此，斐波那契问题的答案是 144对。以上数列， 即“斐波那契数列”15兔子问题的另外一种提法：第一个月是一对大兔子，类似繁殖；到第十二 个月时，共有多少对兔子？月 份 大兔对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144小兔对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89到十二月时有大兔子144对，小兔子89对， 共有兔子144+89=233对。规律162 斐波那契数列1） 公式用 表示第 个月大

4、兔子的对数，则有二阶递推公式172） 斐波那契数列令n = 1, 2, 3, 依次写出数列，就是 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，这就是斐波那契数列。其中的任一个数，都叫斐波那契数。18思：请构造一个3阶递推公式。19二、 相关的问题斐波那契数列是从兔子问题中抽象出来的，如果它在其它方面没有应用，它就不会有强大的生命力。发人深省的是，斐波那契数列确实在许多问题中出现。201 跳格游戏21如图，一个人站在“梯子格”的起点处 向上跳，从格外只能进入第1格，从格中，每 次可向上跳一格或两格，问：可以用多少种 方法，跳到第n格？解：设跳到第n格的方法有 种

5、。由于他跳入第1格，只有一种方法；跳入 第2格，必须先跳入第1格，所以也只有一种 方法，从而 22而能一次跳入第n格的，只有第 和第 两格，因此，跳入第 格的方法数，是跳入第 格的方法数 ，加上跳入第 格的方法数 之和。即 。综合得递推公式容易算出，跳格数列 就是斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，232 连分数这不是一个普通的分数，而是一个分母上有无穷多个“1”的繁分数，我们通常称这样的分数为“连分数”。24上述连分数可以看作是 中，把 的表达式反复代入等号右端得到的；例如，第 一次代入得到的是反复迭代，就得到上述连分数。25上述这一全部由1构成的连分数， 是最简单的一个连

6、分数。26通常，求连分数的值，如同求无理数的值一样，我们常常需要求它的近似值。如果把该连分数从第 条分数线截住，即把第 条分数线上、下的部分都删去，就得到该连分数的第 次近似值，记作 。27对照 可算得28发现规律后可以改一种方法算，例如顺序排起来，这个连分数的近似值逐次为293 黄金矩形1） 定义：一个矩形，如果从中裁去一个最大的正方形，剩下的矩形的宽与长之比，与原矩形的一样（即剩下的矩形与原矩形相似），则称具有这种宽与长之比的矩形为黄金矩形。黄金矩形可以用上述方法无限地分割下去。30312） 试求黄金矩形的宽与长之比（也称为黄金比）解：设黄金比为 ，则有将 变形为 ，解得 ，其正根为 。3

7、23） 与斐波那契数列的联系为讨论黄金矩形与斐波那契数列的联系，我们把黄金比化为连分数，去求黄金比的近似值。化连分数时，沿用刚才“迭代”的思路：33反复迭代，得34它竟然与我们在上段中研究的连分数一样！因此，黄金比的近似值写成分数表达的数列，也是， 其分子、分母都由斐波那契数列构成。并且，这一数列的极限就是黄金比 。35三、 黄金分割1 定义：把任一线段分割成两段，使 ，这样的分割叫黄金分割，这样的比值叫黄金比。（可以有两个分割点）1小段大段362 求黄金比解：设黄金比为 ，不妨设全段长为1，则大段= ，小段= 。故有 ，解得 ，其正根为A B小段大段373 黄金分割的尺规作图设线段为 。作

8、，且 ，连 。作 交 于 ，再作 交 于 ，则 ， 即为 的黄金分割点。38证：不妨令 ，则 ， ， 证完。394. 黄金分割的美黄金分割之所以称为“黄金”分割，是比喻这一“分割”如黄金一样珍贵。黄金比，是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的因素之一。认为它表现了恰到好处的“合谐”。例如:401） 人体各部分的比肚 脐 ： （头脚） 印堂穴： （口头顶）肘关节： （肩中指尖）膝 盖： （髋关节足尖）412） 著名建筑物中各部分的比如埃及的金字塔，高（137米）与底边长（227米）之比为0.629古希腊的巴特农神殿，塔高与工作厅高之比为3405530.615423） 美观矩形的宽长比如国旗

9、和其它用到 矩形的地方（建筑、家具 ）4） 风景照片中，地平线位置的安排435） 正五角星中的比446） 舞台报幕者的最佳站位 在整个舞台宽度的 0.618处较美7） 小说、戏剧的高潮出现 在整个作品的0.618 处较好45四、 优选法1 华罗庚的优选法（“0.618法”）二十世纪六十年代，华罗庚创造了并证明了优选法，还用很大的精力去推广优选法。“优选法”，即对某类单因素问题，用最少的试验次数找到“最佳点”的方法。46例如，炼钢时要掺入某种化学元素加大钢的强度，掺入多少最合适？假定已经知道每吨钢加入该化学元素的数量大约应在1000克到2000克之间，现求最佳加入量，误差不得超过1克。最“笨”的

10、方法是分别加入100克，1002克，1000克，做1千次试验，就能发现最佳方案。47一种动脑筋的办法是二分法，取1000克2000克的中点1500克。再取进一步二分法的中点1250克与1750克，分别做两次试验。如果1750克处效果较差，就删去1750克到2000克的一段，如果1250克处效果较差，就删去1000克到1250克的一段。再在剩下的一段中取中点做试验，比较效果决定下一次的取舍，这种“二分法”会不断接近最好点，而且所用的试验次数与上法相比，大大减少。48表面上看来，似乎这就是最好的方法。但华罗庚证明了，每次取中点的试验方法并不是最好的方法；每次取试验区间的0.618处去做试验的方法，

11、才是最好的，称之为“优选法”或“0.618法”。华罗庚证明了，这可以用较少的试验次数，较快地逼近最佳方案。492 黄金分割点的再生性和“折纸法” 黄金分割点的再生性50即： 如果是 的黄金分割点， 是 的黄金分割点， 与 当然关于中点 对称。特殊的是， 又恰是 的黄金分割点。同样，如果 是 的黄金分割点，则 又恰是 的黄金分割点，等等，一直延续下去 。再生51 寻找最优方案的“折纸法”根据黄金分割点的再生性，我们可以设计一种直观的优选法“折纸法”。仍以上边“在钢水中添加某种元素”的问题为例。 52用一个有刻度的纸条表达1000克2000克。在这纸条长度的0.618的地方划一条线，在这条线所指示

12、的刻度上做一次试验，也就是按1618克做第一次试验。然后把纸条对折，前一条线落在下一层纸的地方，再划一条线（黄金分割点），这条线在1382克处，再按1382克做第二次试验。53把两次试验结果比较，如果1618克的效果较差，我们就把1618克以外的短的一段纸条剪去（如果1382克的效果较差，就把1382克以外的一段纸条剪去）。再把剩下的纸条对折，纸条上剩下的那条线落在下一层纸的地方，再划一条线（黄金分割点），这条线在 1236克处。54按1236克做第三次试验，再和1382克的试验效果比较，如果1236克的效果较差，我们就把1236克以外的短的一段纸条剪去。再对折剩下的纸条，找出第四次试验点是1

13、472克。55按1472克做试验后，与1382克的效果比较，再剪去效果较差点以外的短的一段纸条，再对折寻找下一次试验点，一次比一次接近我们的需要，直到达到我们满意的精确度。56注意，每次剪掉的都是效果较差点以外的短纸条，保留下的是效果较好的部分，而每次留下纸条的长度是上次长度的0.618倍。因此，纸条的长度按0.618的k次方倍逐次减小，以指数函数的速度迅速趋于0。所以，“0.618法”可以较快地找到满意的点。事实上，当纸条长度已经很小时，纸条上的任一个点都可以作为“满意”的点了，因为最优点就在纸条上，你取的点与最优点的误差一定小于纸条的长。570.618这个“黄金比”能产生“优选法”，这告诉我们，美的东西与有用的东西之间，常常是有联系的。583 最优化数学生活和生产中提出了大量的优化问题，它们共同的追求目标是：最多、最快、最好、最省。这发展成一门“最优化数学”，包括规化论（线性规划、非线性规划、几何规划、整数规划、动态规划、多目标规则、随机规划等）、统筹学、实验设计（优选法、多因素正交实验法、分批实验法），组合最优化等等。59用导数的方法求极值是用连续的手段处理最 优化问题，优选法“0.618法”则是用离散的手段处理最优化问题。应当看到，提出和解决最优化问题，是数学应用到实践中去的一条经常的重要的途径。我们以后将要做的“找次品”趣题，也是要最大限度地发挥天平的作用，用