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1、蒋耿明 工 程 数 学 Engineering Mathematics复旦大学通信科学与工程系 光华楼东主楼1108室 Tel.: 65100226 E-mail: *2数理方程和特殊函数数理方程和特殊函数第九章第九章 本本 征征 函函 数数 法法vv 数学物理方程定解问题的求法数学物理方程定解问题的求法1.行波法； 2.分离变量法；3.幂级数解法； 4.格林函数法； 5.积分变换法； 6.保角变换法； 7.变分法； 8.数值计算法*3vv求解定解问题的行波法求解定解问题的行波法 (达朗贝尔公式) 弦的横振动方程弦的横振动方程 ( (自由振动自由振动) )： 还可以写作还可以写作qq 假设弦
2、长为无限假设弦长为无限 无边界条件无边界条件 初始条件：初始条件：*4vv求解定解问题的行波法求解定解问题的行波法 (达朗贝尔公式) 波动方程的算子可分解作波动方程的算子可分解作 方程的通解为如下形式方程的通解为如下形式l l 不同于常微分方程，上式出现了不同于常微分方程，上式出现了任意函数任意函数而不是常数而不是常数行波法: 把定解问题的解表示为左、右行进波相叠加的方法*5vv 波动方程的通解有鲜明的物理意义波动方程的通解有鲜明的物理意义 例如例如 f f2 2 ( ( x a t x a t ) ,) ,考虑以速度考虑以速度 a a 沿沿 x x 轴正方向移轴正方向移动的坐标轴动的坐标轴
3、X X， 则新旧坐标和时间的则新旧坐标和时间的 关系为关系为而而 f f2 2 ( (X X ) ) 与时间无关与时间无关，说明函数图象在动坐标系中保持，说明函数图象在动坐标系中保持不变，即表示沿不变，即表示沿 x x 轴轴正向正向以速度以速度 a a传播的传播的行波行波；同理；同理 f f1 1 ( ( x + a t x + a t ) )表示沿表示沿 x x 轴轴负向负向以速度以速度 a a 传播的行波；传播的行波；u u( ( x x, , t t ) )表表示以速度示以速度 a a 沿两个方向传播的行波的叠加。沿两个方向传播的行波的叠加。*6vv 函数函数 f f1 1 与与f f2
4、 2 的确定的确定qq 假设弦长为无限假设弦长为无限 无边界条件，只有有初始条件：无边界条件，只有有初始条件： 将通解代入：将通解代入：即：即：*7vv 达朗贝尔公式达朗贝尔公式 (D. Alembert) 解方程组：解方程组： 代回方程的通解公式可得满足初始条件的特解代回方程的通解公式可得满足初始条件的特解*8qq 例：假设例：假设初始条件：初始条件：其中：其中：0u0 xjx1x2*9 由达朗贝尔公式由达朗贝尔公式：0u0 xjx1x2jxx1x2t=0xx1x2t1xx1x2t2xx1x2t3xx1x2t4*10vv 分离变量法的引入分离变量法的引入 9 9.1.1 分分 离离 变变 量
5、量 法法 两端固定两端固定的弦横振动方程的弦横振动方程 ：qq 弦长有限弦长有限 边界条件边界条件 初始条件：初始条件：*11vv 驻波的形成驻波的形成 两端固定的弦是有限长的，行波在弦的端点反射两端固定的弦是有限长的，行波在弦的端点反射两列两列反向反向传播的传播的同频率同频率的波形成的波形成驻波。驻波。 驻波驻波无波形传播现象，各点振动方式与无波形传播现象，各点振动方式与 t t 有关，振有关，振幅与幅与 x x有关。有关。( (变量分解的物理基础变量分解的物理基础) )OtT/2*12vv 分离变量法分离变量法 因此，驻波因此，驻波的表达式可写为的表达式可写为 上式代入波动方程上式代入波动
6、方程我们有我们有 上式左右相等，唯一的可能是等于某常数上式左右相等，唯一的可能是等于某常数右端只与右端只与 t t 有关（换句话说，与有关（换句话说，与 x x 无关）无关）, , 左端只与左端只与 x x 有关（换句话说，与有关（换句话说，与 t t 无关）无关） 。要使此式成立，左右两端只能等于一个。要使此式成立，左右两端只能等于一个 既与既与 t t 无关又与无关又与 x x 无关的常数。无关的常数。*13vv 分离变量法分离变量法 由此，得到两个二阶线性由此，得到两个二阶线性常微分方程常微分方程由边界条件由边界条件由初始条件由初始条件*14vv 分离变量法分离变量法 关于关于 X X
7、的常微分方程及边界条件的常微分方程及边界条件 先求解先求解关于关于 X X 的常微分方程的常微分方程，考虑常数，考虑常数 的的 情况：情况： 0 0 关于关于 T T 的常微分方程及的常微分方程及初始初始条件条件*15vv 分离变量法分离变量法 X X 部分部分 = 0 = 0的情况：的情况： 代入边界条件代入边界条件X X ( (x x) ) 0 0（平庸解（平庸解- - trivial solutiontrivial solution）, , 所求驻波无意义。所求驻波无意义。*16vv 分离变量法本征值问题分离变量法本征值问题II 问题：问题：是否存在参数是否存在参数 的的某些值，使得该问
8、题有某些值，使得该问题有非零解非零解( (非平庸解非平庸解) )？uu本征值本征值：使带边界条件的常微分方程有非零解：使带边界条件的常微分方程有非零解 的参数值的参数值 。 uu本征函数本征函数：与本征值：与本征值 对应的对应的非零解。非零解。*17矩阵特征值定义： 设 A是 n 阶方阵，如果数 和 n 维非零列向量 x 使关系式 A x = A x = x x 成立，那么，这样的数 称为方阵A 的特征值 ，非 零向量 x 称为A 的对应于特征值 的特征向量。 线性系统A对于某些输入x，其输出y 恰巧是输入 x的 倍，即 y= x ；对某些输入，其输出与输入就 不存在这种按比例放大的关系。 所
9、以，给定一个线性系统A，到底对哪些输入，能 使其输出按比例放大，放大倍数等于多少？这显然 是控制论中感兴趣的问题 L xL x= xvv 其它的本征值定义其它的本征值定义 *18 例如，对系统例如，对系统 ，若输入，若输入 则则 若输入若输入 ，则，则*19例：例：哪些是哪些是 d d2 2/d/dx x2 2的的本征函数本征函数? ? 求出相求出相应应应应的的本征本征值值值值。 (a) (a) e e i m xi m x (b) (b) sinxsinx (c) (c) x x 2 2+y +y 2 2解解: : (a)(a)和和(b)(b)是是 d d2 2/d/dx x2 2的本征函数
10、的本征函数 e e i m xi m x -m-m2 2e e i m xi m x, , 其相其相应应应应的本征的本征值为值为值为值为 -m-m2 2sinsinx x - -sinsinx x, , 其相其相应应应应的本征的本征值为值为值为值为 -1-1(c)(c) 不是不是“ “本征值本征值” ” (Eigenvalue) ; “ “本征函数本征函数” ”(Eigenfunction) 金属波导、光导纤维：金属波导、光导纤维：波导截面电场是驻波波导截面电场是驻波 麦克斯韦方程麦克斯韦方程+ + 边值条件边值条件 = = 本征值问题本征值问题*20二阶常系数微分方程：特征方程：根的三种情况
11、：常系数微分方程的通解：uu常系数微分方程的通解常系数微分方程的通解: :用于解特用于解特 征向量征向量（常数变异法）（常数变异法）*21vv 分离变量法分离变量法 X X 部分部分 0 0： 由常微分方程通解形式由常微分方程通解形式 若若 C C2 2=0=0 则则 X X ( (x x) ) 0, 0, 所求驻波无意义所求驻波无意义, , 所以所以C C2 2 0 0 代入边界条件代入边界条件*23vv 分离变量法分离变量法 X X 部分部分 只能剩下一种可能性：只能剩下一种可能性：n n 上式正是傅里叶正弦级数的基本函数族。上式正是傅里叶正弦级数的基本函数族。 代入代入本征值本征值本征函
12、数本征函数*24vv 分离变量法分离变量法 T T 部分部分 关于关于 T T 的常微分方程及边界条件的常微分方程及边界条件 由常微分方程通解形式由常微分方程通解形式A An n、B Bn n为为为为常数常数 。*25vv 分离变量法分离变量法 至此，波动方程满足至此，波动方程满足边界条件边界条件的的特解特解为：为： 根据三角函数和角公式根据三角函数和角公式*26G G弦振动方程解的物理意义弦振动方程解的物理意义 可得可得 在在 n n = 1= 1 对应的驻波称为对应的驻波称为基波基波，波长波长最长：最长： 2l2l ， 对应的振动对应的振动频率频率最低：最低： f = a f = a /
13、/ 2 l (2 l (决定了音调决定了音调) ) 在在 n n 1 1 对应的对应的驻波称对应的对应的驻波称 n n 次次谐波谐波，波长是，波长是 基波的基波的1/1/n n ，振动频率是，振动频率是基波基波的的 n n 倍倍( (决定了音色决定了音色) )每个每个 u u n n对应两端固定的弦对应两端固定的弦可能可能存在的一种存在的一种驻波驻波： 在在 x = k l / nx = k l / n ( (k k=0,1,2=0,1,2n n) ) 共共 n + 1 n + 1 个点上，个点上， sin(sin(n np px x / / l l ) ) = 0= 0 ，对应对应驻波的节点
14、。驻波的节点。 振动振动角频率角频率： w wn n= na = nap p/ /l l , 频率：频率：f f n n= n a / 2 l= n a / 2 l*270l l0l l0l l（n=1）（n=2）（n=3）*28vv 分离变量法分离变量法 下一步：由初始条件确定系数下一步：由初始条件确定系数 A An n、B Bn n。 根据根据解的叠加原理解的叠加原理，u un n的的线线线线性性组组组组合也是波合也是波动动动动方方 程的解，即：程的解，即： 由初始条件由初始条件*29vv 分离变量法分离变量法 由傅立叶级数展开公式由傅立叶级数展开公式*30vv 补充说明补充说明 解由一系列频率不同（成倍增长）、相位不同解由一系列频率不同（成倍增长）、相位不同、振幅不同的驻波叠加而成、振幅不同的驻波叠加而成 所以分离变量法所以分离变量法又称又称驻波法。驻波法。TT 各个驻波的振幅、相位等由定解条件决定；各个驻波的振幅、相位等由定解条件决定；uu 而频率而频率 f = na f = na / / 2 l2 l 与初始条件无关，所以也称与初始条件无关，所以也称 为弦的
