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1、专题五 方案与设计方案与设计问题是指解决问题的方案决策问题，同一个问题往往有多种不同的解决方案，但其中最科学、最合理的方案常常仅有一种随着课程改革的全面展开和逐步深化，有利于考查学生创新意识和实践能力的方案设计问题已经成为中考命题的一大热点方案设计问题大多取材于生活背景，富有浓厚的生活气息，能够让学生充分体验数学知识的应用价值，有利于激发学生学习数学的乐趣和学好数学的动力，因此，这类问题必然在中考中盛久不衰，它的出现改变了学生以往只依赖于模仿和记忆的“重结果，轻过程”的学习方式，这不仅有利于培养学生动手操作和实践活动的能力，更为重要的是能够让学生养成用数学的意识图案设计例 1：(2013 年湖
2、南衡阳)一种电讯信号转发装置的发射直径为 31 km.现要求：在一边长为 30 km 的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市问：(1)能否找到这样的 4 个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？在图 Z5-1(1)中画出安装点的示意图，并用大写字母 M，N，P，Q 表示安装点；(2)能否找到这样的 3 个安装点，使得在这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？在图 Z5-1(2)中画出示意图说明，并用大写字母 M，N，P 表示安装点，用计算、推理和文字来说明你的理由(1)(2)图Z5-1每个小正方形的对角线长为解：(
3、1)如图Z5-2(1)，将正方形等分成 4 个小正方形，将这4 个转发装置安装在这 4 个小正方形对角线的交点处，此时，每个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域，故安装 4 个这种装置可以达到预设的要求(1) (2) 图Z5-2(2)方法一，将原正方形分割成如图 Z5-2(2)中的 3 个矩形，使得 BEODOC.将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处设 AEx，则 ED30x，DH15，由 BEOD，得 x2302(30x)2152，即如此安装3 个这种转发装置，能达到预设要求方法二，将原正方形割成如图Z5-2(2)中的3个矩形，使得BE31，H 是CD 的中点，将每个装置安装在这些矩形的对
4、角线交点处，即如此安装3 个这个转发装置，也能达到预设要求名师点评：考查应用与设计作图解决本题的关键是先利用常见图形得到合适的计算方法和思路，然后根据类比方法利用覆盖的最大距离得到相类似的解累计购物实际花费130290x 在甲商场127 在乙商场126方案设计例2：(2013 年天津)甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过 100 元后，超出 100 元的部分按 90%收费；在乙商场累计购物超过 50 元后，超出 50 元的部分按 95%收费，设小红在同一商场累计购物 x 元，其中 x100.(1)根据题意，填写下表(单位：元)；(2)当 x
5、取何值时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同？(3)当小红在同一商场累计购物超过 100 元时，在哪家商场的实际花费少？解：(1)在甲商场：100(290100)0.9271,100(x100)0.90.9x10；在乙商场：50(29050)0.95278,50(x50)0.950.95x2.5.(2)根据题意，得0.9x100.95x2.5，解得x150.当x150 时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同(3)由 0.9x100.95x2.5，解得 x150.09x100.95x2.5，解得 x150.当小红累计购物大于 150 上没封顶时，选择甲商场实际花费少；当小红累计购物超过 100 元而
6、不到 150 元时，选择乙商场实际花费少；由(1)，得当小红累计购物为 150 元时，选择甲、乙商场花费一样名师点评：此题主要考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式的应用，问题较多，且有一定难度涉及方案选择时应与方程或不等式相联系最值问题例 3：(2012 年山东聊城)某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为 18 元，试销过程中发现，每月销售量 y(单位：万件)与销售单价 x(单位：元)之间的关系可以近似地看作一次函数 y2x100(利润售价制造成本)(1)写出每月的利润 z(单位：万元)与销售单价 x(单位：元)之间的函数关系式；(2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得 350
7、万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？(3)根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32 元，如果厂商要获得每月不低于 350 万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？解：(1)z(x18)y(x18)(2x100)2x2136x 1800， z2x2136x1800.(2)由 z350，得 3502x2136x1800，解得 x125，x243.当销售单价定为25 元或43 元时，厂商每月能获得350万元的利润将z2x2136x1800 配方，得z2(x34)2512.因此，当销售单价定为34 元时，厂商每月能获得最大利润，最大利润是512 万元(3)结合(2)及函数z2x2136x1800 的图象(如图 Z5-3)可知，图Z5-3当25x43 时，z350.又由限价32 元，得25x32.根据一次函数的性质，在 y2x100 中y 随x 的增大而减小，当 x32 时，厂商每月制造成本最低，此时，最低成本是 18(232100)648(万元)因此，如果厂商要获得每月不低于350 万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本为648 万元
