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1、4.4 牛顿插值 （Newtons Interpolation ）Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一 个节点时，全部基函数 li(x) 都需要重新 计算。能否重新在Pn中寻找新的基函数 ？希望每加一个节点时，只附加一项上去即可。本讲主要内容: Newton插值多项式的构造 差商的定义及性质 差分的定义及性质 等距节点Newton插值公式1,x - x0, (x - x0)(x - x1) ，(x-x0)(x-x1) (x-xn-1) 是否构成Pn的一组基函数？利用插值条件Nn(xj)=f(xj), j=0,1，n代入上式 ，得关于Ak (k=0,1，n)的线性代数方程组基函数当xj
2、互异时，系数矩阵非奇异，且容易求解How complex the expression are!It is not a difficult thing for a mathematician. We can use notation 差商(亦称均差) /* divided difference */称为在xi,xj处的1阶差商称为在xi,xj,xk处的2阶差商k阶差商：利用插值条件和差商,可求出Nn(x)的系数 Ai :因此，每增加一个结点，Newton插值多项式只增加 一项，克服了Lagrange插值的缺点。 .xk f(xk) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 n 阶差商差商表例1:给定f(x
3、)=lnx的数据表 xi 2.20 2.40 2.60 2.80 3.00 f(xi) 0.78846 0.87547 0.95551 1.02962 1.098611.构造差商表 2.分别写出二次、四次Newton插值多项式 解:差商表_N2(x)=0.78846 +0.43505(x-2.20) - 0.087375(x-2.20) (x-2.40 ）N4(x)= 0.78846+0.43505(x-2.20）- 0.087375(x-2.20)(x-2.40)+0.0225(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60)-0.00755(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60)(x
4、-2.80)差商具有如下性质性质1 (差商与函数值的关系 )性质2 （对称性）：差商的值与结点排列顺序无关性质3(差商与导数的关系)12 n11+ (x x0) 2+ + (x x0)(x xn1) n1Nn(x )Rn(x)Ai = f x0, , xi 证明：4.4.3 等距节点的Newton插值公式与差分一阶向前差分 /* forward difference */一阶向后差分 /* backward difference */一阶中心差分 /* centered difference */当节点等距分布时:定理：Newton插值多项式的余项为 Rn（x）= fx0 ,x1, xn， x
5、 n+1（x）其中n+1 (x）=(x - x0)(x - x1 )(x - x2 )(x - xn)F由插值多项式的唯一性可知 Nn(x) Ln(x)， 故其余项也相同，即一般地,称k阶差分的差分为k+1阶差分,如二阶 向前和向后差分分别为计算各阶差分可按如下差分表进行.其中差分具有如下性质性质1(差分与函数值的关系) 各阶差分均可表 示为函数值的线性组合:性质2(前差与后差的关系): 性质3(多项式的差分) 若f(x)Pn(n次多项式类), 则性质4(差分与差商的关系):性质5(差分与导数的关系）(11)称公式(11)为Newton向前差分插值公式,其余项为(12)利用这些性质,可将New
6、ton公式进一步简化为令x=xn-th, 则当x0xxn时,0tn.利用差商与向后差 分的关系, 式(13)可简化为(13)如果将Newton插值公式改为按节点xn,xn-1,x0的次 序排列的Newton插值公式,即其余项为注：一般当 x 靠近 x0 时用前插，靠近 xn 时用后插， 故两种公式亦称为表初公式和表末公式。称式(14)为Newton向后差分插值公式(14)例 给定f(x)在等距节点上的函数值表如下:xi 0.4 0.6 0.8 1.0f(xi) 1.5 1.8 2.2 2.8 分别用Newton向前和向后差分公式求f(0.5)及f(0.9)的近似值 .解 先构造向前差分表如下:xi fi fi 2fi 3fi 0.4 1.50.6 1.8 0.30.8 2.2 0.4 0.11.0 2.8 0.6 0.2 0.1x0=0.4, h=0.2, x3=1.0. 分别用差分表中对角线上的值和最 后一行的值,得Newton向前和向后插值公式如下:(1)(2)当 x=0.5时,用公式(1),这时t=(x-x0)/h=0.5. 将t=0.5代 入(1),得f (0.5)N3(0.5)=1.64375.当x=0.9时, 用公式(2), 这时t=(x3-x)/h=0.5. 将t=0.5代 入(2), 得f (0.9)N3(0.9)=2.46875.
