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1、 双曲线的定义: 平面内与两定点F1，F2的距离的差 的绝对值等于常数2a 点 的集合叫做双曲线。F1,F2 -焦点 |MF1| - |MF2| = 2a|F1F2| -焦距.F2.F1Myox注意：对于双曲线定义须 抓住两点：一是平面内的 动点到两定点的距离之差 的绝对值是一个常数；二 是这个常数要小于|F1F2| M请思考？1、平面内与两定点的距离的差等于常数 2a（小于|F1F2| ）的集合是什么？2、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于 常数（等于|F1F2| ）的集合是什么？3、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数（大于|F1F2| ）的轨迹是什么？双曲线的一支是在直线F1F2上
2、且 以F1、F2为端点向外的两条射线不存在相关结论：1、当|MF1|-|MF2|= 2a|F1F2|时,M点的轨迹不存在4、当|MF1|-|MF2|= 2a=0时，P点轨迹是双曲线其中当|MF1|-|MF2|= 2a时，M点轨迹是与F2对 应的双曲线的一支； 当|MF2| - |MF1|= 2a时，M 点轨迹是与F1对应的双曲线的一支.M点轨迹是在直 线F1F2上且以F1和F2为端点向外的两条射线。M点的轨迹是线段F1F2 的垂直平分线 。xyo设M（x , y）,双曲线的焦距为2c（c0）,F1(-c,0),F2(c,0)常数为2aF1F2M即 (x+c)2 + y2 - (x-c)2 +
3、y2 = + 2a_以F1,F2所在的直线为X轴，线 段F1F2的中点o为原点建立直角坐标系1. 建系.2.设点3.列式|MF1| - |MF2|= 2a如何求这优美的曲线的方程？4.化简.F1F2xOy焦点在y轴上的双曲线 的标准方程想一想 F2F1yxoF1(0,-c), F2(0,c),焦 点 位置确定： 椭圆看分母大小 双曲线看x2、y2 的系数正负焦点在y轴上的双曲线的图象是什么？标准方程怎样求？x2与y2的系数符号，决定焦点所在的坐标轴，当x2,y2哪 个系数为正，焦点就在哪个 轴上，双曲线的焦点所在位 置与分母的大小无关。注： 例1、已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5
4、,0)双曲 线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6，则(1) a=_ , c =_ , b =_(2) 双曲线的标准方程为_(3)双曲线上一点， |PF1|=10,则|PF2|=_3544或16| |PF1| - |PF2| | =6例2、已知双曲线两个焦点的坐标为F1( - 5 , 0) 、F2(5 , 0),双曲线上一点P到F1、F2的距离的差 的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。 解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的 2a=6 2c=10 a=3 c=5 b2= 52- 32= 16 所求双曲线的标准方程为标准方程为例3：k 1,则关于x、y的方程(1- k )x2+y2=k2- 1
5、所表示的曲线是 （ ) 解：原方程化为：A、焦点在x轴上的椭圆C、焦点在y轴上的椭圆B、焦点在y轴上的双曲线D、焦点在x轴上的双曲线 k0 k2+1 0 1+k 0方程的曲线为焦点在y轴上的双曲线。故 选（B）课堂练习： 1、已知点F1(- 8, 3 )、F2(2 ,3)，动点P满足 |PF1| - |PF2|= 10，则P点的轨迹是( )A、双曲线 B、双曲线一支C、直线 D、一条射线2、若椭圆 与双曲线的焦点相同,则 a = 3D3、说明下列方程各表示什么曲线。方程表示的曲线是双曲线方程表示的曲线是双曲线的右支方程表示的曲线是x轴上分别以F1和F2为端点， 指向x轴的负半轴和正半轴的两条射
6、线。一.双曲线的简单几何性质yB2A1A2B1 xObaMN Ql1.范围: 两直线x=a的外侧 l2. 对称性:关于x轴, y轴,原点 对称;原点是双曲线的对称中心; 对称中心叫双曲线的中心 l3.顶点: (1)双曲线与x轴的两个交A (-a,0), A (a,0)叫双曲线的顶点l12 (2)实轴:线段A A 实轴长:2a虚轴:线段B B 虚轴长:2b1 21 2一.双曲线的简单几何性质 yB2A1A2B1 xObaMN Ql4.渐进线:(1)渐进线的确定:矩形的对角线(2)直线的方程: y= x推理证明:双曲线方程可变为当x 时，方程近似变为y= , 即双曲线上的点无限接近直线 y=一.双
7、曲线的简单几何性质(1)概念:焦距与实轴长之比yB2A1A2B1 xObaMN Ql5.离心率(2)定义式: e=(3)范围: e1 (ca) (4)双曲线的形状与e的关系即:e越大,渐进线斜率越大, 其开口越阔.二.应用举例:例1.求双曲线9y 16x =144的实半轴与虚 半轴长,焦点坐标,离心率及渐进线方程.22故 渐进线方程为:y=x解:把方程化成标准方程: - =1y16x922故 实半轴长a=4,虚半轴长b=3 c=16+9 =5._ e=5434五， 二.应用举例: 例2.求一渐进线为3x+4y=0,一个焦点为(4,0) 的双曲线的标准方程.分析:因焦点在x轴上,故其标准方程可知为:其渐进线方程可知又因c=4,故可列方程组求出a,b的值.三.小结:1.双曲线的几何性质: 范围; 对称 性; 顶点; 渐进线; 离心率2.几何性质的应用
