函数的概念(zml)

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1、 函数的概念莲塘二中数学组 张明梁函数概念应该成为数学教育的灵魂，以函数概 念为中心，将全部数学教材集中在它的周围进行充分的 综合。-克莱因（德国）1.函数的概念1.在初中我们学习了哪几种基本函数？其函数解析 式分别是什么？ 一次函数：ykxb (k0)； 二次函数：yax2bxc (a0)；反比例函数： (k0). 2.初中对函数概念是怎样定义的？ 在变化过程中，有两个变量x与y，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y值，那么我们就称y是x 的函数，其中x是自变量，y是因变量. 3.我们如何从集合的观点认识函数？ 思考1:从集合与对应的观点分析，变量之间的关系 都可以怎样描述？ 对于数集A

2、中的每一个x，按照某种对应关系f ，在数集B中都有唯一确定的y和它对应，记作 f：AB.1.函数的概念思考2:从集合与对应的观点分析，函数还可以怎样定义 ？设A，B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使 对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x) 与之对应， 那么就称f叫作在集合A上的函数， 记作f：AB或 y=f(x)，xA. 其中，x叫做自变量，与x值相对应的y值叫做函数值.初高中关于函数的定义实质上是一样的，只不过初中定义是 从运动的观点出发，而高中定义是从集合的观点出发的，侧重点 不同。函数的特殊性在于A、B都是非空数集。1.函数的概念思考3:在一个函数中，自

3、变量x和函数值y的变化范围都是集合， 这两个集合分别叫什么名称？自变量的取值范围A叫做函数的定义域； 函数值的集合 f(x)|xA叫做函数的值域.思考4:在从集合A 到集合B 的一个函数f：AB中，集合A是函数 的定义域，集合B是函数的值域吗？怎样理解f (x)=1，xR ？值域是集合B的子集.1.函数的概念ABCf思考5:一个函数由哪几个部分组成？如果给定函数的定义域和对 应关系，那么函数的值域确定吗？两个函数相等的条件是什么？定义域、对应关系、值域；（三要素） 定义域相同，对应关系完全一致.函数的值域由函数的定义域和对应关系所确定；1.函数的概念例1 已知函数（1）求函数的定义域；（2）求

4、 的值；（3）当a0时，求 的值.1.函数的概念例2 在下列各组函数中 与 是否相等？为 什么？1.函数的概念2.区间思考1：设a，b是两个实数，且a0,对 应关系f：正方形面积，那么从集合A到集 合B的对应是否是函数？为什么？2.函数是“两个数集A、B间的一种确定的对 应关系”，如果集合A、B不都是数集，这种 对应关系又怎样解释呢？3映射 考察下列两个对应：AB图1图2AB思考1:上述两个对应有何共同特点？ 集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯 一确定的元素和它对应.思考2:我们把具有上述特点的对应叫做映 射，那么如何定义映射？设A、B是两个非空的集合，如果按某一个 确定的对应关系f，使

5、对于集合A中的任意一 个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与 之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到 集合B的一个映射.其中集合A中的元素x称为原象，在集合B 中与x对应的元素y称为象.3.映射思考3:下图中的对应是不是映射？为什么？AB 图1AB 图23.映射思考4:函数一定是映射吗？映射一定是函数 吗？思考5:映射有哪几种对应形式？一对一，多对一 思考6:设集合A=N，B=x|x是非负偶数，你 能给出一个对应关系f，使从集合A到集合B的 对应是一个映射吗？并指出其对应形式.3.映射思考7:图1是从集合A到集合B的一个映射吗？图2 是从集合B到集合A的一个映射吗？AB图1AB 图23.

6、映射思考8:映射有“三性”，即“方向性”，“存在性 ”和“唯一性”，怎样理解？“唯一性”：对于集合A中的任何一个元 素，在集合B中和它对应的元素是唯一的.“方向性”：映射是有方向的，A到B的映 射与B到A的映射往往不是同一个映射；“存在性”：对于集合A中的任何一个元素 ，集合B中都存在元素和它对应；3.映射例1 试判断下面给出的对应是否为从集合A到集合 B的映射？ （1）集合A=P|P是数轴上的点，集合B=R，对应 关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）集合A=P|P是平面直角坐标系中的点，集 合B=(x,y)|xR,yR，对应关系f：平面直角 坐标系中的点与它的坐标对应；（3）集合A

7、=x|x是三角形,集合B=x|x是圆， 对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；3.映射（4）集合A=x|x是莲塘二中的班级，集合 B=x|x是莲塘二中的学生，对应关系f：每 一个班级都对应班里的学生;（5）集合A=1,2,3,4, B=3，4，5，6，7 ，8，9，对应关系f：x2x+1 例2 已知集合A=a,b，集合B=c,d,e. （1）试建立一个从集合A到集合B的映射？ （2）一共可建立多少个从集合A到集合B的 映射？3.映射例3 下列对应关系f是否为从集合A到集合B的 函数？3.映射4.函数的表示法1.函数有哪几种常用的表示法？2.在日常生活中，我们会遇到许多函数问题，如 何选择适

8、当的方式来表示问题中的函数关系呢？（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间 的对应关系； （2）图象法：用图象表示两个变量之间的对应 关系； （3）列表法：用表格表示两个变量之间的对应 关系.某种笔记本的单价是5元，买x (x1，2 ，3，4，5)个笔记本需要y元试用适当 的方式表示函数y=f(x)思考1:该函数用解析法怎样表示？思考2:该函数用列表法怎样表示？笔记记本数 x12345钱钱数 y5101520254.函数的表示法思考3:该函数用图象法怎样表示？ 思考4:上述三种表示法各有什么特点？yOx543215102025154.函数的表示法下表是莲塘二中高一（13）班三位同学在高一学

9、年度六次数学测试的成绩及班级平均分表： 第一次第二次第三次第四次第五次第六次伦娜988791928895 良耀907688758680 志远686573727582班平分882 783 854 803 757 826思考1:上表反映了几个函数关系？这些函数 的自变量是什么？定义域是什么？ 4个；测试序号；1，2，3，4，5，6. 4.函数的表示法思考2:上述4个函数能用解析法表示吗？能 用图象法表示吗？思考3:若分析、比较每位同学的成绩变化情 况，用哪种表示法为宜？100Oxy543216志远伦娜良 耀 平均分908070604.函数的表示法思考4:试根据图象对这三位同学在高一 学年度的数学学

10、习情况做一个分析.伦娜同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情 况比较稳定而且成绩优秀；良耀同学的数学成绩不稳定， 总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大；志远 同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩呈上升趋 势，表明他的数学成绩在稳步提升.4.函数的表示法某市某条公交线路的总里程是20公里，在这条线 路上公交车“招手即停”，其票价如下： （1）5公里以内（含5公里），票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（ 不足5公里按照5公里计算）.思考1:里程与票价之间的对应关系是否为函 数？若是，函数的自变量是什么？定义域是 什么？思考2:该函数用解析法怎样表示？4.函数

11、的表示法设里程为x公里，票价为y元，则思考3:该函数用列表法怎样表示？里程x（ 公里） （0，5（5，10 （10， 15 （15， 20 票价y（ 元） 23454.函数的表示法思考4:该函数用图象法怎样表示？ 思考5:上面的函数称为分段函数,一般地， 分段函数的解析式有什么特点？试举例说明 . yOx2015105123454.函数的表示法例1 设周长为20cm的矩形的一边长为xcm， 面积为Scm2,那么x与S的对应关系是否为函 数？若是,试用适当的方法表示出来.例2 画出函数y=|x|的图象.xoy4.函数的表示法5.知识总结函数的概念 函数区间定义：三要素 定义域 对应关系 值域 闭区间 开区间 半开半闭区间 函数的表示法 三种表示法 解析法 列表法 图像法分段函数 映射f：AB范例分析 例1 已知函数(1)求 的值;(2)若f(a)=3,求a的值.例2 求下列函数的定义域:范例分析