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1、创新型、开放型问题第二讲曾庆坤第一类：找规律问题这类问题要求大家通过观察, 分析,比较,概括,总结出题设反映的某 种规律,进而利用这个规律解决相关 问题例1：观察下列算式：21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=64 27=128 28=256通过观察，用你所发现的规律写出89的末位数字是。第一列第二列第三列第四列第一行21=222=423=824=16第二行25=3226=6427=12828=256第三行8例1：观察下列算式：21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=64 27=128 28=256 通过观察，用你所发现的规律写出89的末 位数 字是。
2、第二类:探求条件问题这种问题是指所给问题结论明确,而 寻求使结论成立的条件.大致有三种类型(1)条件未知需探求 (2)条件不足 需补充条件 (3)条件多余或有错,需排 除条件或修正错误条件例2:已知:如图,AB、 AC 分别是O的直径和弦，D为劣弧 AC上一点， DEAB于点H，交O于点E，交AC 于点F，P为ED的延长线上一点， （1）当PCF满足什 么条件时，PC与O 相切，为什么？ 2）当点D在劣弧AC的 什么位置时，才能使 AD2=DE DF.为什么? 分析：要知PC与 0相切，需知 PCOC，即 PCO=90， CAB+AFH=90，而 CAB=OCA， AFH=PFC，PFC+OC
3、A=90，当 PFC=PCF时， PCO=90.解 :(1)当PC=PF(或PCF=PFC,或PCF为等边三角形)时,PC与 O相切.连结OC,则OCA=FAH.PC=PF PCF=PFC=AFHDE AB OCA+PCF=FAH+AFH=900即OC PC, PC与O相切.（2）当点D在劣弧AC的什么位 置时，才能使AD2=DE DF.为什么?分析:要使AD2=DE DF需知ADFEDA证以上两三角形相 似,除公共角外,还 需证DAC=DEA故应知AD=CD 解：（2）当点D是AC的中点时，AD2=DE DF.连结AE. AD=CD DAF=DEA 又ADF=EDA DAFDEA即AD2=D
4、E DF 第三类:探求结论问题这类问题是指题目中的结 论不确定,不惟一,或结论需要 通过类比,引申,推广或由已知 特殊结论,归纳出一般结论例3：已知，O1经过O2的圆心O2，且与O2相 交于A、B两点，点C为AO2B上的一动点（不运动至 A、B）连结AC，并延长交O2于点P，连结BP、BC .(1)先按题意将图1补完整,然后操作,观察.图1供 操作观察用,操作时可使用量角器与刻度尺.当点 C在AO2B 上运动时,图中有哪些角的大小没有变化 ;(2)请猜想BCP的形状,并证明你的猜想(图2供 证明用)(3)如图3,当PA经过点O2时,AB=4,BP交O1于D,且 PB、DB的长是方程x2+kx+
5、10=0的两个根，求O1 的半径. 例3：已知，O1经过O2的圆心O2，且与O2相交 于A、B两点，点C为AO2B上的一动点（不运动至A、 B）连结AC，并延长交O2于点P，连结BP、BC .(1)先按题意将图1补完整,然后操作,观察.图1供操 作观察用,操作时可使用量角器与刻度尺.当点C在 AO2B 上运动时,图中有哪些角的大小没有变化;(2)请猜想BCP的形状,并证明你的猜想(图2供证明用)（2）证明：连结O2A、O2B，则BO2A=ACB BO2A=2PACB=2PACB=P+PBCP=PBCBCP为等腰三角形.(3)如图3,当PA 经过点O2时,AB=4,BP交O1于 D,且PB、DB
6、的长 是方程x2+kx+10=0的两 个根，求O1的 半径. 连结O2O1并延长交AB 于E，交O1于F设O1、O2的半径 分别为r、R， O2FAB， EB=1/2AB=2，PDB 、PO2A是O1的割线 ， PDPB=PO2PA=2R 2，PB、BD是方程 x2+kx+10=0的两根， PBBD=10，EFEO2=AEBE， EF=4/3，r=1/2（ 3+4/3）=13/6O1的半径为13/6PDPB=（PBBD） PB=PB2PBBD=PB2 10PB210=2R2，AP是O2的直径， PBA=90，PB2=PA2 AB2，PB2=4R216得R=在RtO2EB中，O2E= 由相交弦定
7、理得，第四类： 存在性问题存在性问题是指在一定件下某数学对 象是否存在的问题例4：抛物线y=ax2+bx+c（a0）过P（1，-2）， Q（-1,2），且与X轴交于A,B两点(A在B的左 侧),与Y轴交于C点，连结AC，BC1. 求a与c的关系式2. 若(O为坐标原点),求抛物线的解析式3.是否存在满足条件tanCAB穧 cotCBA=1的抛物 线?若存在, 请求出抛物线的解析式。若不存 在，请说明理由。OCOBOA411=+解（1）将P（1，-2），Q（-1，2）代入解析式得 解方程组得a+c=0，b=2 a，c的关系式是a+c=0或a=c例4：抛物线y=ax2+bx+c（a0）过P（1，-
8、 2），Q（-1,2），且与X轴交于A,B两点 (A在B的左侧),与Y轴交于C点，连结AC， BC1.求a与c的关系式2.若 (O为坐标原点),求抛物线的解析式3.是否存在满足条件 tanCABcotCBA=1的抛物线?若存在 , 请求出抛物线的解析式。若不存在， 请说明理由。 （2）由（1）知b=2，所以y=ax22x+c设A （x1，0）B（x2，0）则x1x2=c/a，但a=c ，所以x1x20这说明A，B在原点两侧（A在 B的左侧）所以OA=x1，OB=x2，OC=|c|=|a| ，已知 故有即 平方后得 而（x2-x1）2=（x1+x2）24x1x2把x1+x2=2/a， x1x2=
9、1代入上式中，得到关于a的方程， 解方程求得a，c从而求出解析式（2）设A，B的坐标分别为（x1，0）,（x2，0）,则x1，x2是方程 ax22x+c=0的两个根 x1+x2=2/a，x1x2=1因此A，B两点分别在原点两侧，因为A在B的左侧，所以x10，x20，故OA=x1，OB=x2，OC=|c|=|a|，由 得 即 平方后得 又 于是得4/a2+4=16/a2,解之得a= ，c= 所以解析式为（x2-x1）2=（x1+x2）2 4x1x2例4：抛物线y=ax2+bx+c（a0）过P（1，- 2），Q（-1,2），且与X轴交于A,B两点, 与Y轴交于C点，连结AC，BC1.求a与c的关系式2.若 (O为坐标原点),求抛物线的解析式3.是否存在满足条件 tanCABcotCBA=1的抛物线?若存在 , 请求出抛物线的解析式。若不存在， 请说明理由。 （3） 假设满足条件的解析式存在由tanCABcotCBA=1得(OC/OA)(OB/OC)=1，从而有OA=OB这说明A，B一定在原点两侧，所以x1=x2即x1+x2=0，所以b/a=0，因而b=0这与b=2相矛盾，故假设错误，所以不存在这样的抛物线。
