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1、满分：100 分(必考试卷) 50 分(必考试卷) 时量：120 分钟 必考试卷 一、选择题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分.在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.复数 ii2在复平面内表示的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.设xR R，则xe 的一个必要不充分条件是 A.x1 B.x3 D.x5)的两个焦点，且|F1F2|8，弦AB过点F1，则x2 a2y2 25 ABF2的周长为 A.10 B.20 C.2 D.44141 7.对于 R R 上可导的任意函数f(x)，若满足(x2)f(x)0，则必有 A.f(3)f(
2、3)2f(2) C.f(3)f(3)2f(2) D.f(3)f(7)2f(2) 二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分.请把答案填在答题卷对应题 号后的横线上.8.复数10的值是 .(1i 1i)9.用反证法证明命题：“若x，y0，且xy2，则，中至少有一个小于 2”1x y1y x 时，假设的内容应为 .10.已知等差数列an中，有成立.类似地，在a11a12a20 10a1a2a30 30 等比数列bn中，有 成立. 11.曲线ysin x在0，上与x轴所围成的平面图形的面积为 . 12.已知函数f(x)x(xc)2在x2 处有极大值，则c的值为 . 13.正整数按
3、下列方法分组：1，2,3,4，5,6,7,8,9，10,11,12,13,14,15,16， ，记第n组中各数之和为An；由自然数的立方构成下列数组：03,13，13,23，23,33， 33,43，记第n组中后一个数与前一个数的差为Bn，则AnBn . 三、解答题：本大题共 3 小题，共 35 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 14.(本小题满分 11 分) 已知函数f(x)ax3(a1)x227(a2)xb的图象关于原点成中心对称，试判断 f(x)在区间4，5上的单调性，并求出f(x)在区间4，5上的最值.15.(本小题满分 12 分)2已知数列an满足Snan2n1. (1)
4、写出a1，a2，a3，并推测an的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论.16.(本小题满分 12 分) 如图，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，且ACABBC2，PA平面 ABCD，E，F分别是BC，PC的中点. (1)证明：AEPD；(2)若H为PD上一点，且AHPD，EH与平面PAD所成角的正切值为，求二面角62 EAFC的余弦值.必考试卷 一、选择题：本大题共 1 个小题，每小题 5 分，满分 5 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.定义在 R R 上的函数f(x)的导函数f(x)的图像如图，若两个正数a，b满足f(2ab)b0)的离心率为，以
5、椭圆C的左顶点T为圆心作圆x2 a2y2 b2323T：(x2)2y2r2(r0)，设圆T与椭圆C交于点M与点N. (1)求椭圆C的方程； (2)求的最小值，并求此时圆T的方程；TMTN (3)设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点 R，S，O为坐标原点，求证：为定值.|OR|OS|5.(本小题满分 14 分) 已知函数f(x)ex，xR R. (1)若直线ykx1 与f(x)的反函数的图象相切，求实数k的值；(2)设x0，讨论曲线y与直线ym(m0)公共点的个数；f(x) x2(3)设函数h满足x2h(x)2xh(x)，h(2)，试比较h(e)与 的大小.(x
6、)f(x) xf(2) 87 84湖南师大附中 2015 届高二第一学期期末考试试题 数学(理科)参考答案必考试卷 一、选择题 14.BABC 57.BDC 二、填空题假设nk时，命题成立，即ak2，(8 分)1 2k 当nk1 时，a1a2akak1ak12(k1)1， 且a1a2ak2k1ak 2k1ak2ak12(k1)12k3，2ak122，ak12，1 2k1 2k1 即当nk1 时，命题成立.(11 分)根据得nN N时，an2都成立.(12 分)1 2n 16.(1)证明：由ACABBC，可得ABC为正三角形. 因为E为BC的中点，所以AEBC. 又BCAD，因此AEAD. 因为
7、PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE. 而PA平面PAD，AD平面PAD且PAADA， 所以AE平面PAD.又PD平面PAD， 所以AEPD.(5 分)(2)解：因为AHPD， 由(1)知AE平面PAD， 则EHA为EH与平面PAD所成的角. 在 RtEAH中，AE，3此时 tanEHA，AE AH3AH62 因此AH.又AD2，所以ADH45，25所以PA2.(8 分)解法二：由(1)知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角 坐标系，又E，F分别为BC，PC的中点，所以A(0,0,0)，B(，1,0)，C(，1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，
8、E(，0,0)，333F，(32，12，1) 所以(，0,0)，AE3.AF(32，12，1) 设平面AEF的一法向量为m m(x1，y1，z1)， 则Error!因此Error! 取z11，则m m(0,2，1)， 因为BDAC，BDPA，PAACA，所以BD平面AFC， 故为平面AFC的一法向量.BD 又(，3,0)，BD3所以 cosm m， .BDm mBD|m m|BD|2 35 12155因为二面角EAFC为锐角，所以所求二面角的余弦值为.(12 分)155 必考试卷 一、选择题 1.D 【解析】由图像可知f(x)在(，0)递减，在(0，)递增，所以f(2ab)0. 由于点M在椭圆
9、C上，所以y1.(*)(4 分)2 1x2 1 4 由已知T(2,0)，则(x12，y1)，(x12，y1)，TMTN (x12，y1)(x12，y1)(x12)2y(x12)TMTN2 12x4x132 .(6 分)(1x2 1 4)5 4 2 15 4(x18 5)1 5由于20，由已知T(2,0)，则 (2cos 2，sin )(2cos 2，sin )(2cos 2)TMTN2sin25cos28cos 352 .(6 分)(cos 4 5)1 5故当 cos 时，取得最小值为 ，此时M，4 5TMTN1 5(8 5，3 5)又点M在圆T上，代入圆的方程得到r2.13 25故圆T的方程
10、为：(x2)2y2.(8 分)13 25 (3)方法一：设P(x0，y0)，则直线MP的方程为：yy0(xx0)，y0y1 x0x1令y0，得xR，同理：xS，(10 分)x1y0x0y1 y0y1x1y0x0y1 y0y1故xRxS(*)(11 分)x2 1y2 0x2 0y2 1 y2 0y2 1 又点M与点P在椭圆上，故x4(1y)，x4(1y)，(12 分)2 02 02 12 1代入(*)式，得：xRxS4(1yoal(2,1)y2 04(1yoal(2,0)y2 1 y2 0y2 14.4(yoal(2,0)yoal(2,1) y2 0y2 1 所以4 为定值.(13 分)|OR|
11、OS|xR|xS|xRxS|方法二：设M(2cos ，sin )，N(2cos ，sin )，不妨设 sin 0，P(2cos ，sin )，其中 sin sin .则直线MP的方程为：ysin (x2cos )，sin sin 2cos 2cos 令y0，得xR，2(sin cos cos sin ) sin sin 同理：xS，(12 分)2(sin cos cos sin ) sin sin 故xRxS4.4(sin2cos2cos2sin2) sin2sin24(sin2sin2) sin2sin2 所以4 为定值.(13 分)|OR|OS|xR|xS|xRxS|5.解：(1)f的反函
12、数g(x)ln x.设直线ykx1 与g(x)ln x相切于点(x)P(x0，y0)，则Error!x0e2，ke2.所以ke2.(3 分) (2)当x0，m0 时，曲线yf(x)与曲线ymx2(m0)的公共点个数 即方程f(x)mx2根的个数.由f(x)mx2m，令v(x)v(x)，ex x2ex x2xex(x2) x4 则v(x)在(0,2)上单调递减，这时v(x)(v(2)，)；v(x)在(2，)上单调递增，这时v(x)(v(2)，).v(2).e2 4 v(2)是yv(x)的极小值，也是最小值.(5 分) 所以对曲线yf(x)与曲线ymx2(m0)公共点的个数，讨论如下：当m时，有
13、0 个公共点；(0，e2 4)8当m时，有 1 个公共点；e2 4当m时有 2 个公共点；(8 分)(e2 4，)(3)令F(x)x2h(x)，则F(x)x2h(x)2xh(x)ex x所以h，故h(x)F(x) x2(x)F(x)x22xF(x) x4F(x)x2F(x) x3ex2F(x) x3令G(x)ex2F(x)，则G(x)ex2F(x)ex2ex xex(x2) x 显然，当 02 时，G(x)0，G(x)单调递增； 所以，在(0，)范围内，G(x)在x2 处取得最小值G(2)0. 即x0 时，ex2F(x)0. 故在(0，)内，h(x)0， 所以h (x)在(0，)单调递增，又因为h(2) ，h(2) .(14 分)7 8
