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1、数 学(文科) 必考部分 一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的 1. 若复数z(1ai)(2i)是纯虚数，则实数a的值为A2 B C. D21 21 2 2如图所示是数列一章的知识结构图，下列说法正确的是A “概念”与“分类”是从属关系 B “等差数列”与“等比数列”是从属关系 C “数列”与“等差数列”是从属关系 D “数列”与“等比数列”是从属关系，但“数列”与“分类”不是从属关系 3下列说法中错误的是 A对于命题p：x0R R，sin x01，则綈p：xR R，sin x1； B命题“若 00)的顶点到渐近线
2、的距离等于 ，则双曲线的离心率x2 a2y2 b2a 2 e是_ 三、解答题：本大题共 3 小题，共 35 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤 14(本小题满分 11 分) 在某测试中，卷面满分为 100 分，60 分及以上为及格，为了调查午休对本次测试前两 个月复习效果的影响，特对复习中进行午休和不进行午休的考生进行了测试成绩的统计， 数据如下表所示：分数段2940)40，50)50，60)60，70)70，80)80，90)90，100 午休考生 人数23473021143114不午休考 生人数1751671530173参考公式及数据：K2n（adbc）2 （ab）（cd）（ac
3、）（bd） P(K2k0)0.100.050.0250.0100.005 k02.7063.8415.0246.6357.879 (1)根据上述表格完成列联表： 及格人数不及格人数总计 午休 不午休 总计 (2)能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为午休与考生及格有关系？对今后的 复习有什么指导意义？315(本小题满分 12 分) 已知：a，b，c0.求证：a(b2c2)b(a2c2)c(a2b2)6abc.16.(本小题满分 12 分) 已知抛物线y24x的焦点是F，准线是l，过焦点的直线与抛物线交于不同两点 A，B，直线OA(O为原点)交准线l于点M，设A(x1，y1)，B(x
4、2，y2) (1) 求证：y1y2是一个定值； (2) 求证：直线MB平行于x轴必考部分 一、填空题：本大题共 1 个小题，每小题 5 分，共 5 分请把答案填在答题卷对应题 号后的横线上 1从抛物线x24y上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|5，设抛物线 的焦点为F，则MPF的面积为_ 二、选择题：本大题共 1 个小题，每小题 5 分，满分 5 分在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的 2已知定义在 R R 上的函数f(x)的导数是f(x)，若f(x)是增函数且恒有f(x)0，则 下列各式中必成立的是 A2f(1)2f(3) C2f(1)f(2) D3f(2)2f(
5、3) 三、解答题：本大题共 3 小题，共 40 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤 3(本小题满分 13 分) 已知函数f (x)x33x. (1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)当x0，a，a0 时，设f(x)的最大值是h(a)，求h(a)的表达式4.(本小题满分 13 分) (1)证明：xln xx1； (2)讨论函数f(x)exax1 的零点个数5. (本小题满分 14 分)如图，已知焦点在x轴上的椭圆1(b0)有一个内含圆x2y2 ，该圆的垂直x2 8y2 b28 3于x轴的切线交椭圆于点M，N，且(O为原点)OMON(1)求b的值； (2)设内含圆的任意切线l交椭圆
6、于点A、B.4求证：，并求|AB|的取值范围OAOB湖南师大附中 2015 届高二第一学期期末考试试题数学(文科)参考答案必考部分(100 分)6C 【解析】ABC的内心为O，连结OA、OB、OC，将ABC分割为三个小三角形， 这三个小三角形的高都是r，底边长分别为a、b、c；类比：设四面体ABCD的内切 球球心为O，连接OA、OB、OC、OD，将四面体分割为四个以O为顶点，以原面为底面的四面体， 高都为r，所以有V (S1S2S3S4)r.1 37B 【解析】f(x)x44x312x2x2(x2)(x6)， 所以f(x)有两个极值点x2 及x6. 8D 【解析】据椭圆的定义，由已知得|MF2
7、|8，而ON是MF1F2的中位线，故 |ON|4. 二、填空题9.2102 【解析】A50，A5230，A3210， A1210，A212. 114n2 【解析】第 1 个图案中有 6 块白色地面砖，第二个图案中有 10 块，第三 个图案中有 14 块，归纳为：第n个图案中有 4n2 块 12xy013. 【解析】由题意知 tan 30e .2 33b a33c a2 33K25.75.024，5因此，有 97.5%的把握认为午休与考生及格有关系，即能在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为午休与考生及格有关系(10 分) 对今后的复习的指导意义就是：在以后的复习中，考生应尽量适当午休，
8、以保持最佳 的学习状态(11 分)(2)据题意设A，M(1，yM)，(8 分)由A、M、O三点共线有y1yM4，(10 分)yM 1又y1y24 则y2yM，故直线MB平行于x轴(12 分) 必考部分(50 分) 一、填空题 110 【解析】设P(xP，yP)，|PM|PF|yP15，yP4，则|xP|4，SMPF |MP|xP|10.1 2二、选择题2B 【解析】由选择支分析可考查函数y的单调性，而f(x)0 且f(x)f（x） x0，则当x1 时，f(x)在(0，1)上递增，在(1，a)上递减， 即当x0，a时fmax(x)f(1)2(12 分)综上有h(a)(13 分)a33a，a （0
9、，1， 2，a （1，）.)4 【解析】 (1)设函数(x)xln xx1，则(x)ln x(1 分) 则(x)在(0，1)上递减，在(1，)上递增，(3 分) (x)有极小值(1)，也是函数(x)的最小值，则(x)(1)1ln 1110 故xln xx1.(5 分) (2)f(x)exa(6 分) a0 时，f(x)0，f(x)是单调递增函数，又f(0)0， 所以此时函数有且仅有一个零点x0；(7 分) 当a0 时，函数f(x)在(，ln a)上递减，在(ln a，)上递增， 函数f(x)有极小值f(ln a)aaln a1(8 分) .当a1 时，函数的极小值f(ln a)f(0)aaln
10、 a10 则函数f(x)仅有一个零点x0；(10 分) .当 01 时，由(1)知极小值f(ln a)aaln a11 时，2ln aln a0，计算f(2ln a)a22aln a1 考查函数g(x)x22xln x1(x1) ，则g(x)2(x1ln x)，再设h(x)x1ln x(x1)，h(x)1 01 xx1 x故h(x)在(1，)递增，则h(x)h(1)11ln 10， 所以g(x)0，即g(x)在(1，)上递增，则g(x)g(1)1221ln 110 即f(2ln a)a22aln a10， 则f(x)还必恰有一个属于(ln a，2 ln a)的正根 故 01 时函数f(x)都是
11、恰有两个零点 综上：当a(，01时，函数f(x)恰有一个零点x0， 当a(0，1)(1，)时函数f(x)恰有两个不同零点. (13 分)5 【解析】(1)当MNx轴时，MN的方程是x，8 3设M，N(8 3，y1)(8 3，y1)由知|y1|， OMON8 3即点在椭圆上，代入椭圆方程得b2.(3 分)(8 3，8 3)(2)当lx轴时，由(1)知；OAOB当l不与x轴垂直时，设l的方程是：ykxm，即kxym0则3m28(1k2)(5 分)|m|1k28 37(12k2)x24kmx2m280, ykxm x2 8y241)16k2m24(12k2)(2m28)(4k21)0，32 3设A(
12、x1，y1)，B(x2，y2)则，(7 分)x1x24km 12k2x1x22m2812k2)x1x2y1y2(1k2)x1x2km(x1x2)m2m2（1k2）（2m28） 12k24k2m2 12k20，即.3m28（1k2） 12k2OAOB即椭圆的内含圆x2y2 的任意切线l交椭圆于点A、B时总有.(9 分)8 3OAOB(2)当lx轴时，易知|AB|2(10 分)8 34 63 当l不与x轴垂直时，|AB|（1k2）（x1x2）24x1x2（1k2）323（4k21）（12k2）2(12 分)4 63（1k2）（4k21） （12k2）2设t12k21，)， (0，11 t则|AB|4 632t2t1 2t24 6312(1 t1 2)29 8所以当 即k时|AB|取最大值 2，1 t1 2223当 1 即k0 时|AB|取最小值，1 t4 63(或用导数求函数f(t)，t1，)的最大值与最小值)2t2t1 2t2综上|AB|.(14 分)4 63，2 3
