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1、20142015 学年上学期湘中名校高二期末联考试卷学年上学期湘中名校高二期末联考试卷数学（理）数学（理）一、选择题：(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。)1、在ABC 中，若0030, 6,90BaC，则bc 等于 （ ）A 1 B 1 C 32 D 322、由11a ，3d 确定的等差数列na，当298na 时则 n 等于 （ ） A99B100C 96D1013、 “m0”是“方程23x+2y m=1 表示椭圆”的 ( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件4、已知(
2、1,1,0)a ，( 1,0,2)b ，且kab 与2ab 互相垂直，则k的值是 （ ）A1 B1 5C3 5D7 5 5、下列命题为真命题的是 ( )A.椭圆的离心率大于 1； B.双曲线22221xy mn 的焦点在x轴上；C., a bR，2abab； D.7sincos5xRxx ， .6、 满足线性约束条件23,23,0,0,xyxyxy 的目标函数zxy的最大值是 （ ）A 1. B 3 2. C 2. D 3.7、一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿东偏南 50方向直线航行，30 分钟后到达 B 处.在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是东偏南 2
3、0，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65， 那么 B、C 两点间的距离是 （ ）A.10 2海里 B.10 3海里 C.20 2海里 D.20 3海里8、如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，点 M 为侧棱 AA1上ABCA1B1C1M2一动点，已知BCM 面积的最大值是2 3，二面角 MBCA的最大值是3,则该三棱柱的体积等于 （ ）A3 3 B. 2 3 C. 3 D. 3 29、已知点 F1、F2分别是椭圆22x k 21y k 1(k1)的左、右焦点，弦 AB 过点 F1，若ABF2的周长为8，则椭圆的离心率为 （ ）A.1 2B1 4C15 4D3 410、设函数 f(x)在
4、R 上可导，其导函数为 fx，且函数 y(1x) fx的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是 ( )A函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) C函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2) D函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分.请把答案填在答题卷对应题号后 的横线上.11、在等比数列na中0na 且564718a aa a则13log a+32log a+103log a=_12、设 a0 为常数，若对任意正实数 x，y 不等式1()()9ax
5、yxy恒成立，则a的最小值为_13、若函数2( )2lnf xxx在其定义域内的一个子区间(1,1)kk内不是单调函数，则实数 k 的取值范围是 _ 14、由直线2yx，1 3yx 和曲线yx所围成的平面图形的面积为_15、已知ABC三顶点均在双曲线22 124xy上，三边 AB、BC、AC 所在的直线的斜率均存在且均不为 0，其和为-1；又 AB、BC、AC 的中点分别为 M、N、P，O 为坐标原点，直线 OM、ON、OP 的斜率分别为1k，2k，3k且均不为 0，则3123111 kkk_三、解答题:本大题共 6 小题，共 60 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题
6、满分 10 分)在锐角ABC中，abc，分别为ABC，所对的边，且32.acsinA (1)确定C的大小；(2)若7c，ABC的面积为3 3 2，求ab的值17.(本小题满分 10 分) 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，ACBC，ACBCCC1，M、N 分别是 A1B、 B1C1的中点.（）求证：MN平面 A1BC；（）求直线 BC1和平面 A1BC 所成角的大小.18.(本小题满分 10 分)设数列 na的各项都为正数，其前n项和为nS，已知对任意*Nn，nS是2 na和na 的等差中项（）证明数列 na为等差数列，并求数列 na的通项公式；（）证明211121nSSS；19.(本
7、小题满分 10 分) 某地需要修建一条大型输油管道通过 120 公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输 油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离 修建增压站（又称泵站）.经预算，修建一个增压站的工程费用为 432 万元，铺设距离 为x公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为3xx万元.设余下工程的总费用为 y万元.（）试将y表示成关于x的函数； （）需要修建多少个增压站才能使y最小？20.(本小题满分 10 分) 如图，抛物线的顶点 O 在坐标原点，焦点在 y 轴负半轴上，过点 M(0，2)作直线 lB A1 B1 C1 N A C M 4与抛物线相交于 A，B
8、 两点，且满足( 4, 12)OAOB .（）求直线 l 和抛物线的方程；（）当抛物线上一动点 P 从点 A 到 B 运动时，求ABP 面积的最大值21(本小题满分 10 分)己知2( )lnf xxaxbx()若1a ，函数( )f x在其定义域内是增函数，求b的取值范围；()当1,1ab 时，证明函数( )f x只有一个零点；()若( )f x的图象与x轴交于1212( ,0), (,0)()A xB xxx两点，AB中点为0(,0)C x，求证：0()0fx52014-2015 学年上学期湘中名校高二期末联考理科数学学年上学期湘中名校高二期末联考理科数学 参考答案参考答案16：【解】 (
9、1)由a2csinA 及正弦定理，得 ，3ac2sinA3sinAsinCsinA0，sinC. ABC 是锐角三角形，C .323(2)c，C .由面积公式得 absin ，即 ab6. 731233 32由余弦定理，得 a2b22abcos 7，即 a2b2ab7 . 3由变形得(ab)225，故 ab5.17：【解】解法一：（）由已知 BCAC，BCCC1， 所以 BC平面 ACC1A1.连结 AC1，则 BCAC1. 由已知，侧面 ACC1A1是正方形，所以 A1CAC1. 又1BCACC，所以 AC1平面 A1BC. 因为侧面 ABB1A1是正方形，M 是 A1B 的中点，连结 AB
10、1，则点 M 是 AB1的中点. 又点 N 是 B1C1的中点，则 MN 是AB1C1的中位线，所以MNAC1. 故 MN平面 A1BC. （5 分） （）因为 AC1平面 A1BC，设 AC1与 A1C 相交于点 D， 连结 BD，则C1BD 为直线 BC1和平面 A1BC 所成角. 设 ACBCCC1a，则12 2C Da，12BCa. 在 RtBDC1中，sinC1BD111 2C D BC， 所以C1BD30，故直线 BC1和平面 A1BC 所成的角为 30. （10 分） 解法二：（）据题意 CA、CB、CC1两两垂直，以 C 为原 点， CA、CB、CC1所在直线分别为 x 轴、y
11、 轴、z 轴，建立空间 直角坐标系，如图. 设 ACBCCC1a，则11(0, ,0),(0, , ), ( ,0,0),(0,0,0),(0,0, )BaBa aA aCCa，1( ,0, )A aa，(,),(0, )2 2 22a a aaMNa. 618【解】 （）由已知，nnnaaS22，且0na . 当1n时，12 112aaa，解得11a. 当2n时，有12 112nnnaaS.于是12 12 122nnnnnnaaaaSS，即12 122nnnnnaaaaa.于是12 12 nnnnaaaa，即111)(nnnnnnaaaaaa.因为01nnaa，所以)2( 11naann.
12、故数列 na是首项为1，公差为1的等差数列，且nan. （5 分）（）因为nan，则)111(2) 1(2 nnnnSn. 所以nSSS111212(2)111(2)111()31 21()211(nnn（1019:【解】 （I）设需要修建k个增压站，则(1)120kx，即1201kx. ( 1 分）所以33212012051840432(1)()432(1)()120312ykkxxxxxxxx.因为 x 表示相邻两增压站之间的距离，则 0x120. 故 y 与 x 的函数关系是251840120312(0120)yxxx. （5 分）（II）设251840( )120312(0120)f xxxx，则3 2251840240( )240(
