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1、第七节 定积分的物理应用一、变力沿直线作功 二、液体对薄板的侧压力 第五章 三、引力 (自学)1设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 xa 移动到力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 。在其上所作的功元素为因此变力F(x) 在区间 上所作的功为一、变力沿直线作功 2例1. 弹簧在拉伸过程中，需要的力 F (单位：N)与弹簧的伸长量 s (单位:cm)成正比，即F=ks (k是比例常数) 如果把弹簧由原长拉伸6cm，计算所做的功。解：当弹簧从x拉伸至x+dx，可认为外力近似于F=kx于是外力做功元素 dW= kxdx而弹簧拉伸6cm，从而3例2.直径为20cm、高为80cm的圆柱体
2、内充满压强为10N/cm2的蒸汽。设温度保持不变，要使蒸汽体积缩小一半，问需要做多少功？ 解：建立坐标系如图所示，因为温度不变，当圆柱体的高减少xcm时的压强为dxxyo80是定值。4解: 则木板对铁钉的阻力为第一次锤击时所作的功为例3. 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力 与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击 时将铁钉击入1cm，若每次锤击所作的功相等，问 第n次锤击时又将铁钉击入多少？设n次击入的总深度为h厘米 n次锤击所作的总功为假如钉子钉入木板的深度为xcm而每次锤击所作的功相等所以n次击入的总深度为 第n次击入的深度为5例4.试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解:
3、 建立坐标系如图。 任取一小区间这薄层水的体积元素这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为故所求功为( kJ )设水的密 度为一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m, 6作多少功 ? 内盛满了水,试问要将容器内的水全部吸出需例5. 有一半径为 4 米开口向上的半球形容器, 容器解: 取坐标原点在球心, x轴垂直向下建立坐标系,Oxxx+dx7例6. 半径为R的球沉入水中, 球的上部与水面相切，球的密度为1，现将球从水中取出,需作多少功？ 相应于区间x，x+dx的球体中 的薄片(球台)的体积约为 当球体恰好露出水面时，这一薄片在水面以上 移动的路程为R+x，解：建立坐标系如图所示。克服重
4、力做功为O xR+x x水面x+d x由于球的比重与水相同， 球的这一部分的由x提升到水面不做功。奇函数8二、液体对薄板的侧压力 压力=压强受力面积= g h受力面积 例7. 的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力。 解: 建立坐标系如图. 所论半圆的方程为一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为 小窄条上各点的压强利用对称性 , 侧压力元素端面所受侧压力为9说明: 当桶内充满液体时,小窄条上的压强为侧压力元素故端面所受侧压力为奇函数10例8. 有等腰梯形水闸, 上底长10m, 下底6m, 高20m。试求当水面与上底相齐时, 闸门一侧所受的水压力。 解：建立坐标系如图所示。直线AB的方程为
5、xB(20,3 )A(0,5)O y闸门上对应于区间x，x+dxxx+dx 窄条形所受的压力约为11例10. 有等腰梯形水闸, 上底长6m, 下底2m, 高10m。试求当水面位于上底下2 m时, 闸门所受的水压力。 解：建立坐标系如图所示。直线AB的方程为x2B(10,1 )A(0,3)O y闸门上对应于区间x，x+dxxx+dx 窄条形所受的压力约为12例11. 设某水库闸门为椭圆形水泥板，椭圆的长轴平行于水面且离水面的距离为h，求闸门所受的压力。 解：建立坐标系如图所示。椭圆的方程为于是窄条所受的水压力约为y由题设，h b在y轴任取区间 y，y+dy椭圆板上对应窄条的面积的近似值为2xdy则所求水压力为xbO-ba-ah奇函数yy+dy1314例. 设一锥形贮水池，深15米，口径20米，盛满水，今以唧筒将水吸尽，问要作多少功？ 解：任取一小区间x, x+dx，则直线AB的方程为建立坐标系如图所示。xx+dxO A(0,10) yxB(15,0)这薄层水的体积元素为把这一部分水吸出所需做的功元素为 15例. 一底为10cm, 高为6cm的等腰三角形薄片,铅直地沉入水中,顶在上,底边在下且与水面平行,而顶离水面3cm时, 试求它的一个侧面所受的水压力。解：建立坐标系如图所示。直线AB的方程为 xx+dxxB(9,5)A(3,0)Oy16
