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1、第三节 随机变量的分布函数一、概念的引入需要知道 X 在任意有限区间(a, b)内取值的概率 .分布 函数 例如| x二、定义设X 是随机变量，x为任意实数，称函数为X 的分布函数(distribution function) 记作 X F(x) 或 FX(x)如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分 布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间的概率.三、分布函数的性质1 单调不减即 若 x12时, X x为必然事件,于是 F(x)= PX x=1综上所述 x0 1 2 3F(x)的图形F(x)11/2【注】本例中分布函数F(x)的图形是一条连续曲 线，且除x=2外，补补充定义义x=2处函数值
2、为0后，得到第四节 连续型随机变量及其 概率密度一、定义probability density.注：(1)由定义知道，改变概率密度f (x)在个别点的函数值不影响分布函数F(x)的取值，因此概率密度不是唯一的.(2)连续型随机变量的分布函数是连续函数.二、 性质(1),(2)用于验证一个函 数是否为概率密度注 (4)式及连续性随机变量分布函数的定义表示 了分布函数与概率密度间的两个关系利用这些 关系，可以根据分布函数和概率密度中的一个推 出另一个(4) 若f(x)在点 x 处连续，则有连续型随机变量的分布函数与概率密度的几何意义：3. 性质(3)表示Px10.1。 解: (1)由于 于是X的概
3、率密度为 ，解得k=3.(2)从而 练习解(1)例2: 连续型随机变量X的分布函数（1）求A，B（2）求X的概率密度（3）P-10,t0有则称X的分布具有无记忆性. 指数分布具有无记忆性2. 指数分布有着重要应用.如动植物的寿命、无线电元件的寿命，以及随机服务系统中的服务时间等都可用指数分布来描述.例4 设某种灯泡的使用寿命为X，其概率密度为 求(1)此种灯泡使用寿命超过100小时的概率. (2)任取5只 产品, 求有2只寿命大于100小时的概率.解: (1)或(2)设Y表示5只产品中寿命大于100小时的只数, 则故解：分析：关键：t0时,Tt=N(t)=0.时间间隔大于t，在0，t时间内未发
4、生故障。因为Tt=N(t)=0,服从参数为的指数分布。例4 设设备在任何长为t 时间内发生故障的次数N(t) (t) 的possion分布,求相继两次故障间的时间间隔T的分布函数。 .其中 , ( 0) 为常数, 则称X服从参数为 , 的正 态分布，记为 .显然，f(x)0，且可以证明参数 的意义将在后面的章节中给出( (三三) ) 正态分布正态分布 若随机变量X的概率密度为u 正态分布的概率密度函数f(x)的性质(1) 曲线关于直线 x= 对称 .(2) 当 x= 时，f(x)取得最大值;(3) 在 x= 处曲线有拐点，且以x轴为渐近线 ;Of(x)x(4) 对固定的,改变的值,图形沿Ox轴平移;(5) 对固定的,改变, 越小,图形越尖.正态分布的分布函数为:FF标准正态分布标准正态分布当=0, =1时,称X服从标准正态分布标准正态分布,记作XN(0,1).其概率密度与分布函数分别用 (x),(x)表示.即xOxO-11
