《高等代数课件--§1.5 因式分解定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等代数课件--§1.5 因式分解定理（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.5 因式分解定理复习 因式分解与多项式系数所在数域有关x44=(x22)(x2+2) QRC一、不可约多项式定义：设p(x)Px，且(p(x)0， 若p(x)不能表示成数域P上两个次数比p(x)低的多项式的乘积， 则称 p(x)为数域P上的不可约多项式注意: 一个多项式是否不可约依赖于系数域 一元多项式总是不可约多项式 p(x)不可约 p(x)的因式只有零次多项式与它自身的非零常数倍. 若p(x)不可约，对 f(x) Px, 有(p(x), f(x)=1或p(x)|f(x). 定理5：设p(x)是不可约多项式， f(x), g(x)Px，若p(x)| f(x)g(x)， 则p(x)| f(
2、x)或p(x)| g(x)推广：设p(x)是不可约多项式, fi(x)Px, i=1,2, s，若p(x)| f1(x) f2(x) fs(x) , 则必存在某个fi(x), 使得 p(x)| fi(x)。 设p(x)是不可约多项式， cP, 则cp(x)也是不可约多项式。二、因式分解及唯一性定理1. 定理 f(x)Px,若(f(x)1,则f(x)可唯一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说,若有两个分解式f(x)= p1(x) p2(x) ps(x)= q1(x) q2(x) qt(x) 则s=t,且适当排列因式的次序后,有pi(x)= ciqi(x),其中ci, i=1,2
3、,s是一些非零常数 1) 理解证明过程.注 :2) 整个证明过程中没有具体的分解多 项式的方法.3) 定理的作用主要是理论上的 .2标准分解式设f(x)Px, ( f(x)1, 则 f(x)总可表成 其中c为f(x)的首项系数，pi(x)为互不相同的首项系数为1的不可约多项式，riZ+，称之为f(x)的标准分解式 性质1设f(x), h(x)Px, ( f(x)1, (h(x)0, 且 f(x)的标准分解式为 ，则 h(x)| f(x)的充分必要条件是h(x)具有这样的形式 其中0 li ri, i=1,2,s.性质2设f(x), g(x)Px, f(x)0, g(x)0, 且 ri,li0,
4、 i=1,2, s,其中p1(x), p2(x), ps(x)是互不相同的首项系数为1的不可约多项式, 则其中mi=minri, li, i=1,2, s,设fi(x)Px, i=1,2,n, 且 其中rij0, 1 i n, 1 j s, p1(x), p2(x), ps (x)是互不相同的首1的不可约多项式, 则其中mi=minr1i, r2i, rni, i=1,2, s.性质3注意 ：虽然上面给出了利用因式分解定理求最大公因式的公式，但由于对于多项式的因式分解没有一般的方法，因而这种方法不能取代辗转相除法求最大公因式。例1 求f(x)=x4+x22的标准分解式。例2 设p1(x), p2(x)是数域P上两个不同的首项系数为1的不可约多项式, f(x)Px,若pi(x)|f(x),i=1,2, 则p1(x) p2(x)|f(x)。(上述结果能否推广？)
