向量积分配律 的证明(精选多篇)

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1、-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 向量积分配律的证明(精选多篇)向量积分配律的证明 三维向量 外积可以用几何方法证明;也可以借用外 积的反对称性、内积的分配律和混合积 性质，以代数方法证明。下面把向量外积定义为：ab=|a|b|sin.分配律的几何证明方法很繁琐， 大意是用作图的方法验证。有兴趣的话 请自己参阅参考文献中的证明。下面给出代数方法。我们假定已 经知道了：1)外积的反对称性：ab=-ba.这由外积的定义是显然的。2)内积的分配律：-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 a=ab+ac,c=ac+bc.这由内积的定义 ab=|a|b|co

2、s， 用投影的方法不难得到证明。3)混合积的性质：定义c 为矢量 a,b,c 的混合积， 容易证明：i)c 的绝对值正是以 a,b,c 为三条 邻棱的平行六面体的体积，其正负号由 a,b,c 的定向决定。从而就推出：ii)c=a所以我们可以记 a,b,c 的混合积 为.由 i)还可以推出：iii)=我们还有下面的一条显然的结论：iv)若一个矢量 a 同时垂直于三个 不共面矢 a1,a2,a3，则 a 必为零矢量。下面我们就用上面的 1)2)3)来证 明外积的分配律。-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 设 r 为空间任意矢量，在 r)里， 交替两次利用 3)的 ii)、i

3、ii)和数积分配 律 2)，就有r)=b+c=r+r=r移项，再利用数积分配律，得r-)=0这说明矢量 a-垂直于任意一个 矢量。按 3)的 iv)，这个矢量必为零矢 量，即a-=0所以有a=ab+ac.证毕。三维向量外积可以用几何方法证 明;也可以借用外积的反对称性、内积的 分配律和混合积性质，以代数方法证明。下面把向量外积定义为：-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 ab=|a|b|sin.分配律的几何证明方法很繁琐， 大意是用作图的方法验证。有兴趣的话 请自己参阅参考文献中的证明。下面给出代数方法。我们假定已 经知道了：1)外积的反对称性：ab=-ba.这由外积的定

4、义是显然的。2)内积的分配律：a=ab+ac,c=ac+bc.这由内积的定义 ab=|a|b|cos， 用投影的方法不难得到证明。3)混合积的性质：定义c 为矢量 a,b,c 的混合积， 容易证明：i)c 的绝对值正是以 a,b,c 为三条 邻棱的平行六面体的体积，其正负号由 a,b,c 的定向决定。从而就推出：ii)c=a-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 所以我们可以记 a,b,c 的混合积 为.由 i)还可以推出：iii)=我们还有下面的一条显然的结论：iv)若一个矢量 a 同时垂直于三个 不共面矢 a1,a2,a3，则 a 必为零矢量。下面我们就用上面的 1)2

5、)3)来证 明外积的分配律。设 r 为空间任意矢量，在 r)里， 交替两次利用 3)的 ii)、iii)和数积分配 律 2)，就有r)=b+c=r+r=r移项，再利用数积分配律，得r-)=0这说明矢量 a-垂直于任意一个 矢量。按 3)的 iv)，这个矢量必为零矢-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 量，即a-=0所以有a=ab+ac.证毕。向量数量积的运算律制作人：张明娟审核人：叶付国 使用时间：2014-5-8 编号：12014 学习 目标：1、 掌握平面向量数量积的运算 律及其运算；2、 通过向量数量积分配律的学 习，体会类比、猜想、证明的探索性学 习 方法；3、通

6、过解题实践，体会向量数 量积的运算方法.学习重点：向量数量积的运算律 及其应用.学习难点：向量数量积分配律的 证明.重点知识回顾：1、两个向量的夹角的范围是：-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 ；2、向量在轴上的正射影正射影的数量为；?3、向量的数量积：ab=；4、两个向量的数量积的性质：?a?b?；a?aacos?=；向量数量积的运算律1a?b?b?a;?b?a?a?b;?b)?c?a?c?b?c22 平面向量数量积的常用公式?a?2a?b?b?b)?a?b22典例剖析：例?1、已知 a=6，b=4，a 与 b 的夹角为 600，?求：b 在 a 方向上的投影；?a

7、在 b 方向上的投影；a ?2b?a?3b?例?02、已知 a 与 b 的夹角为 120，a=2，b=3，求：22 a?b；a?-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 8 b；?1,a 与 b 夹角为 120，问 t 取何 值 0?t例?a3、已知=3，b=4， ，当 且仅当 k 为何值时，向量 a?kb 与 a?kb 互相垂直？?变式：已知 a=1, b=2, a 与 a?b 垂直.求 a 与 b 的夹角.练习题:求证菱形的对角线互相垂 直.例?04、已知 a=2，b=4，a,b?120，求 a 与 a?b 的夹角.课堂小结：跟踪练习：1、下列运算不正确的是a.?a?b?c?

8、a?b?c?b.?a?b?c?a? c?b?c?c.m?a?b?ma?mbd. -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 9 ?a?b?c?a?b?c?2、设 e?、e?，则?2e?12 是两个单位向量，它们的夹角 为 6001?e2?3e1?2e2?；4、已知：向量 a?与?b 的夹角为 1200，且 a?4， ?b?2，求：a?b；3a?4b；?a?b?a?2b）平面向量的数量积及运算律 的教案说明新疆石河子第一中学曹丽梅一、教学内容的本质：本教案是人教版高中数学第一册 第五章平面向量的第六节内容，整个课 题按照课程标准分两个课时，这是第一 课时的教案。平面向量数量积第一课时的教学， 通常要求形成数量积的概念，得出数量 积运算的公式，并把培养学生的探究精 神和应用意识的目标，有机地融入知识 学习和技能形成的过程之中。平面向量-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 10 数量积是平面向量的重点内容之一，也 是难点之一，这一节主要介绍两个向量 的数量积是两个向量之间的一种乘法， 是中学代数中从未遇到过的一种新的乘 法，与数的乘法有区别，同时这一节与 下一节平面向量的数量积的坐标表示有 着紧密联系。由于向量既能体现“形”的 直观位置特征，又具有“数”的良好运算 性质，是数形结合和