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1、-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 向量证明重心(精选多篇)向量证明重心 三角形 abc 中， 重心为 o，ad 是 bc 边上的中线，用向 量法证明 ao=2od.ab=12b，ac=12c。ad 是中线则 ab+ac=2ad 即 12b+12c=2ad，ad=6b+6c;bd=6c- 6b。od=xad=6xb+6xx。.e 是 ac 中点。 作 df/be 则 ef=ec/2=ac/4=3c。平行线分 线段成比 od/ad=ef/af 即 /=3c/9c，x/=1/3，3x=1。.od=2b+2c，ao =ad-od=4b+4c=2=2od。2设 bc 中点为mp
2、a+pb+pc=0pa+2pm=0pa=2mp-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 p 为三角形 abc 的重心。上来步步可逆、p 是三角形 abc 重心的充要条件 是 pa+pb+pc=03如何用向量证明三角形的重心将 中线分为 2：1设三角形 abc 的三条中线分别为 ad、be、cf，求证 ad、be、cf 交于一点 o，且 ao：od=bo：oe=co：of=2：1证明：用归一法不妨设 ad 与 be 交于点 o，向量 ba=a,bc=b,则 ca=ba-bc=a-b因为 be 是中线，所以 be=/2,向量 bo 与向量 be 共线，故设 bo=xbe=同理设
3、ao=yad=y/2=-ya+b在三角形 abo 中，ao=bo-ba所以-ya+b=-a=a+b因为向量 a 和 b 线性无关，所以-y=x/2-1y/2=x/2解得 x=y=2/3-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 所以 a0：ad=bo：be=2：3故 ao：od=bo：oe=2:1设 ad 与 cf 交于 o,同理有 ao： od=co:of=2:1所以有 ao:od=ao:od=2:1,注意到 o 和 o都在 ad 上，因此 o=o因此有 ao：od=bo：oe=co:of=2:1证毕!4设三角形 abc 的顶点 a,b,c 的坐标 分别为,，证明：三角形 a
4、bc 的重心 m 的坐标满足： x=x1+x2+x3/3y=y1+y2+y3/3设:ab 的中点为 d.dx=/2，又 m 为三角形的重心,cd=3md,x3- /2=3=x=/3 同理:y=/35如图。设 ab=a，ac=b,ad=/2,ao=tab=ta/2+tb/2.be=b/2-a.ao=a+sbe=a+sb/2.t/2=1-s,t/2=s/2.消去 s.t=2/3.ao=ab.od=ab,ao=2od.-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 如何用向量证明三角形的重心将 中线分为 2：1设三角形 abc 的三条中线分别为 ad、be、cf，求证 ad、be、cf
5、交于一点 o，且 ao：od=bo：oe=co：of=2：1证明：用归一法不妨设 ad 与 be 交于点 o，向量 ba=a,bc=b,则 ca=ba-bc=a-b因为 be 是中线，所以 be=/2,向量 bo 与向量 be 共线，故设 bo=xbe=同理设 ao=yad=y/2=-ya+b在三角形 abo 中，ao=bo-ba所以-ya+b=-a=a+b因为向量 a 和 b 线性无关，所以-y=x/2-1y/2=x/2解得 x=y=2/3所以 a0：ad=bo：be=2：3故 ao：od=bo：oe=2:1设 ad 与 cf 交于 o,同理有 ao： od=co:of=2:1所以有 ao:
6、od=ao:od=2:1,注意到-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 o 和 o都在 ad 上，因此 o=o因此有 ao：od=bo：oe=co:of=2:1证毕!向量与三角形的重心?例 1 已知 a，b，c 是不共线的三点，g 是abc 内一点，若 ga?gb?gc?0求证：g 是abc 的重心?证明： 如图 1 所示，因为 ga?gb?gc?0，所以 ga?以 gb，gc 为邻边作平行四边形 bgcd，则有 gd?gb?gc，?所以 gd?ga?又因为在平行四边形 bgcd 中，bc 交 gd 于点 e，所以 be?ec，?ge?ed所以 ae 是abc 的边 bc
7、的中线，且 ga?2ge故 g 是abc 的重心点评：解此题要联系重心的性 质和向量加法的意义；把平面几何知-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 识和向量知识结合起来解决问题是解此 类问题的常用方法变式引申：已知 d，e，f 分别为 abc 的边 bc，ac，ab 的中点求证： ?ad?be?cf?0证明：如图 2 的所示，? ?ad?ac?cd?2ad?ac?ab? cd?bd，即 2ad?ac?ab ad?ab?bd?同理 2be?ba?bc，2cf?ca?cb?2af?a?c?0?c?f?ad?be ?ab?ba?b0c? ca?cb?点评：该例考查了三角形法则和
8、向量的加法例 2 如图 3 所示，abc 的重心 为 g，o 为坐标原点，?oa?a，ob?b，oc?c，试-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 用 a，b，c 表示 og解：设 ag 交 bc 于点 m，则 m 是 bc 的中点，?b?aab?ac?bc?c?b则， c?a，?1?1?1?am?abb?c?a? 222?21?aga 33?11 故 og?oa?ag?a? 33点评：重心问题是三角形的一个 重要知识点，充分利用重心性质及向量 加、减运算的几何意义是解决此类题的 关键变式引申：如图 4，平行四边形 abcd 的中心为 o，?1?p 为该平面 上任意一点，则
9、 po? 4?p o?pa?ao，po?pb?bo，po?pc?co，证法 1：-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 8 ?po?pd?do，?p?bp?c pd?4po?pa，? ?1? 即 po? 4?1?1?证法 2：?po?，po?， 22?1?po? 4点评：证法 1 运用了向量加法的 三角形法则，证法 2 运用了向量加法的 平行四边形法则?若 p 与 o 重合， 则上式变为 oa?ob?oc?od?0三角形重心向量性质的引申及应 用新化县第三中学肖雪晖平面向量是高中数学实验教材中 新增的一章内容加入向量，一些传统 的中学数学内容和问题就有了新的内 涵在数学教学中引导学生积极探索向 量在中学数学中各方面的应用，不仅可 深人了解数学教材中新增内容和传统内 容
