利用导数证明 不等式(精选多篇)

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1、-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 利用导数证明不等式(精选多篇)利用导数证明不等式 没分都没 人答埃。 。觉得可以就给个好评!最基本的方法就是将不等式的的 一边移到另一边，然后将这个式子令为 一个函数 f.对这个函数求导，判断这个 函数这各个区间的单调性，然后证明其 最大值大于 0.这样就能说明原不等式了 成立了!1.当 x1 时,证明不等式 xln设函数 f=x-ln求导，f=1-1/=x/0所以 f 在上为增函数ff=1-ln2o所以 xln=a-a f=1-2a-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 当 00;当 1/2因此，fmin=f=1

2、/40即有当 003.x0,证明：不等式 x-x/6先证明 sinx因为当 x=0 时，sinx-x=0如果当函数 sinx-x 在 x0 是减函 数，那么它一定 求导数有 sinx-x 的 导数是 cosx-1因为 cosx-10所以 sinx-x 是减函数，它在 0 点 有最大值 0，知 sinx再证 x-x/6对于函数 x-x/6-sinx当 x=0 时，它的值为 0对它求导数得1-x/2-cosx 如果它 要证 x/2+cosx-10x0再次用到函数关系，令 x=0 时， x/2+cosx-1 值为 0再次对它求导数得 x-sinx-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读-

3、 3 根据刚才证明的当 x0sinxx/2-cosx-1 是减函数，在 0 点有 最大值 0x/2-cosx-10所以 x-x/6-sinx 是减函数，在 0 点有最大值 0得 x-x/6利用函数导数单调性证明不等式 x-x0，x成立令 f=x-xx则 f=1-2x当 x时,f0,f 单调递增当 x时,f 故 f 的最大值在 x=1/2 处取得，最小值在 x=0 或 1 处取 得f=0,f=0故 f 的最小值为零故当 xf=x-x0。i、m、n 为正整数，且 1克维教育中考、高考培训专家铸 就孩子辉煌的未来函数与导数-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 核心考点五、利用导

4、数证明不等 式一、函数类不等式证明函数类不等式证明的通法可概括 为：证明不等式 f?g 的问题转化为证明 f?g?0，进而构造辅助函数 h?f?g，然后 利用导数证明函数 h 的单调性或证明函 数 h 的最小值大于或等于零。例 1、已知函数 f?lnx?ax2?x讨论函数 f 的单调性；设 a?0，证明：当 0?x?111 时， f?f； aaa若函数 f 的图像与 x 轴交于 a、b 两点，线段 ab 中点的横坐标为 x0，证明：f?0已知函数 f?ln?x，求证：恒有 1?1?ln?x 成立。 x?1xx?0，证明：e?1?xx2?lnx?0 时，求证：x?2二、常数类不等式证明常数类不等

5、式证明的通法可概括-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 为：证明常数类不等式的问题等价转化 为证明不等式 f?f 的问题，在根据 a,b 的不等式关系和函数 f 的单调性证明不 等式。 例 2、已知 m?n?e,，求证：n?m例 3、已知函数 f?ln?求 f 的极小值；若 a,b?0，求证：lna?lnb?1?mnx， 1?xb a已知 f?lnx，g?127，直线 l 与函 数 f、g 的 x?mx?22图像都相切，且与函数 f 的图像 的切点的横坐标为 1求直线 l 的方程及 m 的值；若 h?f?g?，求函数 h 的最大值； 当 0?b?a 时，求证：f?f?b?

6、a 2a求证：b?ab?lnba?b?aa1?x)?x?0 证明：ln 求证： 2?2?2? 23n2当 t?1 时，证明：1?lnt?t?1 1tx21，各项不为零的数列?an?满 足 4sn?f?1， 已知函数 f?an2-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 1n?11 求证：?ln?； an?1nan设 bn?1，tn 为数列?bn?的前 n 项和，求证：t2014?1?ln2014?t2014。 an导 数 的 应 用-利用导数证明 不等式1、利用导数判断函数的单调性；2、利用导数求函数的极值、最 值；引言：导数是研究函数性质的一 种重要工具例如：求函数的单调区间

7、、 求函数的最大值、求函数的值域等 等然而，不等式是历年高考重点考查 的内容之一.尤其是在解答题中对其的考 查，更是学生感到比较棘手的一个题.因 而在解决一些不等式问题时，如能根据 不等式的特点，恰当地构造函数，运用 导数证明或判断该函数的单调性, 出该 函数的最值；由当该函数取最大值时不 等式都成立，可得该不等式恒成立，从 而把证明不等式问题转化为函数求最值-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 问题然后用函数单调性去解决不等式 的一些相关问题，可使问题迎刃而解. 因此，很多时侯可以利用导数作为工具 得出函数性质，从而解决不等式问题 下面具体讨论导数在解决与不等式有关 的

8、问题时的作用三、例题分析1、利用导数得出函数单调性来 证明不等式x2 例 1：当 x0 时,求证：x?ln . 2x2x2证明：设 f= x?ln, 则 f=? 21?xx0,f x2 所以 x0 时,f 小结：把不等式变形后构造函数，然后 用导数证明该函数的单调性，达到证明 不等式的目的随堂练习：课本 p32：b 组第一 题第 3 小题2、利用导数解决不等式恒成立 问题-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 8 1 例已知函数 f?aex?x2 2若 f 在 r 上为增函数,求 a 的取值 范围;若 a=1,求证:x0 时,f1+x解：f aex，在上为增函数，f对 恒成立，

9、即-对恒成立记-，则- -=e-x，当时，当 时，知在上为增函数,在上为减函数,g 在 x=1 时,取得最大值，即gmax=g=1/e, a1/e,即 a 的取值范围是?lnx?lna?x. 22当 0?x?a 时，f?0,因此 f 在内为 减函数.当 x?a 时,f?0,因此 f 在上为增函 数.从而当 x?a 时, f 有极小值 f.-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 9 因为 f?0,b?a,所以 f?0,即 g?g?2g?0. 2 又设 g?f?ln2.则 g? lnx?lna?x?ln2?lnx?ln.当 x?0 时,g?0.因此 g 在上为减函 数.因为 g?0,b?a,所以 g?0,即 g?g?2g?ln2. 2综上结论得证。对于看起来无法下手的一个不等 式证明，对其巧妙地构造函数后，运用 导数研究了它的单调性后，通过利用函 数的单调性比较函数值的大小,使得问题 得以简单解决.四、课堂小结1、利用导数证明不等式或解决 不等式恒成立问题,关键是把不等式变形 后构造恰当的函数，然后用导数判断该 函数的单调性或求出最值，达到证明不 等式的目的；2、利