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1、机械控制工程基础第三章拉氏变换及其计算刘亚俊 2007.10.16 时间曲线用一组正弦或余弦函数来表示。从 现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特 殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个 函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分 。 1822年，傅里叶出版了专著热的解析理论 （Theorie analytique de la Chaleur ， Didot ， Paris，1822）。发展了这一方法。从傅氏变换到拉氏变换傅立叶（Fourier,Jean Baptiste Joseph,1768-1830）法国数学家、物理学家。 1768年3月21日生于欧塞尔， 1830年5月16日卒于巴黎。9岁
2、父母双亡， 被当地教堂收养。12岁由一主教送入地方军事学 校读书。17岁（1785）回乡教数学，1794到巴 黎，成为高等师范学校的首批学员， 次年到巴黎综合工科学校执教。 1798年随拿破仑远征埃及时任军中文书和埃及研究院秘书，1801年回国后任伊泽尔 省地方长官。1817年当选为科学院院 士，1822年任该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席。从时域到频域傅立叶分析简介举例图形的频谱特征美女图频谱野兽图频谱频率（Hz）光强拉普拉斯法国著名的天文学家和数学家，天体力学 的集大成者。拉普拉斯用数学方法证明了 行星的轨道大小只有周期性变化，这就是 著名拉普拉斯的定理。拉
3、普拉斯的著名杰 作天体力学，集各家之大成，书中第 一次提出了“天体力学”的学科名称，是经 典天体力学的代表著作。宇宙系统论 是拉普拉斯另一部名垂千古的杰作。在这 部书中，他独立于康德，提出了第一个科 学的太阳系起源理论星云说。康德的 星云说是从哲学角度提出的，而拉普拉斯 则从数学、力学角度充实了星云说，因此 ，人们常常把他们两人的星云说称为“康德 -拉普拉斯星云说”。拉普拉斯在数学和物理学方面也有重 要贡献，以他的名字命名的拉普拉斯变换 和拉普拉斯方程，在科学技术的各个领域 有着广泛的应用。 拉普拉斯（Pierre Simon Laplace， 1749-1827）拉普拉斯变换的定义一、拉普拉
4、斯变换的定义时域函数，原函数，t 0数学工具拉普拉斯变换与反变换 拉氏变换定义 设函数f(t)满足 t0时，f(t)分段连续 则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作 拉氏变换基本定理 线性定理 位移定理 延迟定理 终值定理 数学工具拉普拉斯变换与反变换 初值定理 微分定理 积分定理 拉氏反变换F(s)化成下列因式分解形式： a.F(s)中具有不同的极点时，可展开为 b.F(s)含有共扼复数极点时，可展开为 c.F(s)含有多重极点时，可展开为 其余各极点的留数确定方法与上同。例1、求单位脉冲函数(t)的拉普拉斯变换。解：例2、求单位阶跃函数 (t) 的拉普拉斯变换。解 :拉普拉斯变换对拉普拉斯
5、变换 拉普拉斯反变换例3、求单边指数函数 eat(t)的拉普拉斯变换解 : 例4、求函数 f(t)=sinwt的拉普拉斯变换2 拉普拉斯变换的基本性质 1、 线性性质2、 微分性质 时域中的求导运算，对应于复频域中乘以s的运算， 并以f(0-)计入初始条件对于二阶以上的导函数求拉氏变换，有：例1、 动态电路的微分方程为响应及其一阶导数的初始值分别为 激励的初始值为求响应的拉氏变换。 解： 对微分方程取拉氏变换：3、积分性质 时域中的由0到t的积分运算，对应于复频域中除 以s的运算。例2 计算f(t)=tn 的拉氏变换4、延迟性质如果时域函数 f(t)(t)的拉氏变换为 则其延迟函数f(t-t0
6、)(t-t0) 的拉氏变换为:例3 求e-(t-) 的拉氏变换，,为任意实数。5、初值定理和终值定理（1）初值定理则（2）终值定理设且存在设且存在则（2）卷积定理 设 则 （3）卷积定理的应用线性系统中如果 xo(t)是任意激励下的零状 态响应，xi(t)是任意激励，g(t)是系统的脉冲响 应，则：6、卷积定理及其物理意义 （1）两个时域函数的卷积两个时域函数的卷积卷积是一个积分运算！图解卷积过程卷积定理 卷积定理具有重要的物理意义。设则卷积定理的物理意义（2）卷积定理 设 则 （3）卷积定理的应用线性系统中如果 xo(t)是任意激励下的零状 态响应，xi(t)是任意激励，g(t)是系统的脉冲
7、响 应，则：6、卷积定理及其物理意义 （1）两个时域函数的卷积输入 输出常用时间函数的拉氏变换t n/n! 1/sn+1原函数 f(t) 象函数F(s)(t) 1(t) 1/sA A/se -tsint /(s+)2 +2 e-t (为实数或复数） 1/(s+)(tn/n!) e-t (为实数或复数） 1/(s+)n+1cost s/(s2+ 2)sint /(s2+ 2) e-tcost (s+)/(s+)2 + 2 2|K|e-tcos (t+K) K/(s+-j) + K*/(s+j) 5. 微分定理 f (n)(t)=snF(s)6. 积分定理7. 终值定理8. 初值定理9. 卷积定理
8、f(t)*g(t)=G(s)H(s)3 拉普拉斯反变换的计算 一、用待定系数法展开部分分式，求原函数f(t) 例1求原函数f(t)解：(1)对分母的s多项式进行因子分解方程s2+3s+2=0的根为s1=-1、s2=-2s2+3s+2=(s+1)(s+2)常数K1和K2的数值应使上式成为s的恒等式比较系数可得： K1+K2=8 2K1+K2=2f(t)=L-1F(s)=(-6e-t+14e-2t) (t) 解得：K1=-6 K2=14(3)拉氏反变换求得原函数f(t)二、用展开定理展开部分分式，求原函数f(t) 例2求原函数f(t)解：对分母的s多项式进行因子分解 s2+3s+2=(s+1)(s
9、+2)两边同乘以(s+1)得令s = -1，则同理：f(t)=L-1F(s)=(-6e-t+14e-2t) (t) 例3求原函数f(t)解：求方程s2+4s+8=0的根s1=-2+j2、s2=-2-j2总结：用展开定理求F(s)的原函数f(t)的一般步骤：(1)求方程F2(s)=0的根。假设有n个单根，分别为s1 、s2、 、sn。(2) F(s)可展开为：式中K1、 K2、 Kn是待定系数。(3) 确定系数K1、 K2、 KnK1=(s-s1)F(s)s=s1K2=(s-s2)F(s)s=s2 Kn=(s-sn)F(s)s=sn(4) f(t)=L-1F(s)如果s1、s2、 、sn为实根，
10、则如果有一对共轭复根， s1=+j、s2 =-j， K1=| K1 |ej ，则K2= K*1= | K1 |e-j ，注：为复根的实部，为复根的虚部(正值)，| K1 | 为系数K1的模， 1为系数K1的辐角， s1=+j为虚 部取正值的根。例4求原函数f(t)解：求方程s2+50s+105=0的根 s1=-25+j315 s2=-25-j315例5求原函数f(t)解：方程(s+1)2(s+3)=0在s=-1处为二重根， 在s=-3处有单根，可表示为： s11= s12=-1， s2=3F(s)展开部分分式为：f(t)=L-1F(s)=(0.5te-t+0.25e-t-0.25e-3t) (t) 总结：如果F(s)的分母除单根外，有一个m重根s1 ， 其部分分式为：其中：主要内容：拉普拉斯变换定义 拉普拉斯变换的性质9个定理拉普拉斯反变换的部分分式展开法拉普拉斯变换法的应用基本要求： 掌握拉普拉斯变换、反变换的计算方法 熟练运用拉普拉斯变换法分析线性系统
