《计算方法、数值分析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《计算方法、数值分析（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、E-mail：mold_数数 值值 分分 析析Tel：13599101680应用背景和领域应用背景和领域 图形学 计算几何 CAD 图像处理 信号分析 有限元 应应 用用 实实 例例 图形图像滤波 模型重构 特征值 谱分析 工程图轮廓提取 等等第1章 绪 论1 数值分析研究的对象和内容数值分析是研究科学计算中各种数学问题求解的数值 计算方法。用计算机进行科学计算解决实际问题的过程如下：实际 问题数学 模型数值计 算方法程序 设计计算机计算 求出结果对数学模型建立数值计算方法，并对方法进行理论分 析，直到编程上机计算出结果，以及对结果的分析，这就 是数值分析研究的对象和任务。如何评价不同算法的好
2、坏呢？一个好的算法应具有如下特点：一个好的算法应具有如下特点 ：（1）结构简单，易于计算机实现；（2）理论上要保证方法的收敛性和数值稳定性；（3）计算效率高：计算速度快，节省存储量；（4）经过数值实验检验，证明行之有效。我们在学习的过程中，要注意掌握数值方法随着计算机的飞速发展，数值分析方法已深入到计算的基本原理和思想，要注意方法处理的技巧及其 与计算机的结合，要重视误差分析、收敛性和稳 定性的基本理论。物理、计算力学、计算化学、计算生物学、计算经济学等 各个领域。本课仅限介绍最常用的数学模型的最基本的数 值分析方法。2 误差的来源和分类误差是描述数值计算之中近似值的精确程度，在数值 计算中十
3、分重要，误差按来源可分为模型误差、观测误差 、截断误差和舍入误差四种。1.模型误差 数学模型通常是由实际问题抽象得到的 ，一般带有误差，这种误差称为模型误差。2.观测误差 数学模型中包含的一些物理参数通常是 通过观测和实验得到的，难免带有误差，这种误差称为观 测误差。3.截断误差 求解数学模型所用的数值方法通常是一 种近似方法，这种因方法产生的误差称为截断误差或方法 误差。 例如，利用ln（x+1）的Taylor公式：实际计算时只能截取有限项代数和计算，如取前5项有：这里产生误差（记作R5）4.舍入误差 由于计算机只能对有限位数进行运算，在运算中象 在数值分析中，我们总假定数学模型是准确的，因
4、而不考虑模型误差和观测误差，主要研究截断误差和舍入误差对计算结果的影响。等都要按舍入原则保留有限位，这时产生的误差称为舍入误差或计算误差。3 绝对误差、相对误差和有效数字设x是精确值x*的一个近似值，记 e=x*-x称e为近似值x的绝对误差，简称误差。 |e| 则称为近似值x的绝对误差限，简称误差限。精确值x* 、近似值x和误差限之间满足： x-x*x+通常记为x*=x 绝对误差有时并不能很好地反映近似程度的好坏，如 x*=10， x=1 ，y*=10000， y=5虽然y是x的5倍，但在10000内差5显然比10内差1好。如果满足 称er为近似值x的相对误差。记由于x*未知，实际使用时总是将
5、x的相对误差取为r =/|x|称为近似值x的相对误差限。|er|r.设x=1.24是由精确值x*经过四舍五入得到的近似 值,求x的绝对误差限和相对误差限。解 由已知可得: 1.235x*0,但计算结果显示I80,可见,虽然I0的 近似误差不超过0.510-4,但随着计算步数的增加,误差 明显增大。这说明这里的递推公式是数值不稳定的。 事实上，由于In=1-nIn-1，和I*n=1-nI*n-1 ，n=1，2， 可得In-I*n=-n（In-1-I*n-1）=(-1)nn!（I0-I*0）可见,随着计算步数的增加,误差迅速放大，使结果失真。 若将计算公式改写为类似地可得可见，近似误差Ik-I*k是可控制的，算法是数值稳定的。I90.0684 I70.1121 I50.1455 I30.2073 I10.3679I80.1035 I60.1268 I40.1709 I20.2642 I00.6321例如，由于取近似值，递推可得 ：可见,I0已精确到小数点后四位。本门课程所需的基础 矩阵 向量 计算机语言基础 *一些附加的知识 计算几何 计算机图形学 计算机辅助几何设计课 间 休 息
