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1、信号与线性系统信号与线性系统第第 6 6 讲讲 教材位置教材位置: : 第3章 连续信号的正交分解3.6，3.7 3.9 内容概要内容概要: : 介绍常用信号的傅里叶变换，将傅里叶变换 推广到周期函数，信号能量的频域描述*信号与线性系统第6讲2开讲前言前讲回顾开讲前言前讲回顾n n周期信号的频谱周期信号的频谱n周期方波的频谱分析，n频谱的离散性、谐波性、收敛性n周期脉冲的频谱分析n包络外形抽样函数n脉冲宽度与周期对谱线的影响n周期无限大，非周期单脉冲情况的谱线n对称周期函数的谱线成分n奇函数、偶函数、奇谐函数、偶谐函数n n非周期信号的频谱非周期信号的频谱n傅里叶变换n门函数傅里叶变换分析傅里
2、叶变换式傅里叶变换式正反*信号与线性系统第6讲3开讲前言本讲导入开讲前言本讲导入n n傅里叶变换将信号从时域变换到频域傅里叶变换将信号从时域变换到频域n n拓展了对信号和系统在频域的认识拓展了对信号和系统在频域的认识n n但是傅里叶变换的计算复杂但是傅里叶变换的计算复杂n n对信号的可积条件也很严格对信号的可积条件也很严格n n奇异函数、周期函数不能满足可积条件奇异函数、周期函数不能满足可积条件n n时域里面大量采用上述函数进行分析时域里面大量采用上述函数进行分析n n因而有必要对上述函数的傅里叶变换进行分析因而有必要对上述函数的傅里叶变换进行分析*信号与线性系统第6讲43.63.6常用信号的
3、傅里叶变换常用信号的傅里叶变换n n本节学习思路本节学习思路n首先是经常遇到的指数函数的傅里叶变换n与傅里叶变换的积分因子形式一样，便于计算n考察指数的系数对于变换计算的影响，a大于、小于1n推导单边、双边的指数傅里叶变换n对指数傅里叶变换的推广n矩形脉冲、符号函数等，借助指数变换进行傅里叶变换计算n两个重要的奇异函数的傅里叶变换n阶跃函数是不可积的，利用已知函数傅里叶变换求解，参数极限化n冲激函数、冲激偶函数都可以利用已有傅立叶变换通过数学技巧求得n积分顺序变化等*信号与线性系统第6讲53.63.6常用信号的傅里叶变换常用信号的傅里叶变换n n1 1、单边指数函数的傅里叶变换、单边指数函数的
4、傅里叶变换n指数函数 f(t) = A e- t (t)， 0n计算傅里叶变换F(j)A e- t (t)f(t)t0 (a)单边指数脉冲0|F( j )|A (b)振幅频谱0( ) 2（c)相位频谱2-F(j)F(j)相位频谱相位频谱振幅频谱振幅频谱*信号与线性系统第6讲63.63.6常用信号的傅里叶变换常用信号的傅里叶变换n n2 2、偶对称双边指数傅里叶变换（、偶对称双边指数傅里叶变换（ 0 0 ）0f(t)0t*信号与线性系统第6讲73.63.6常用信号的傅里叶变换常用信号的傅里叶变换n n3 3、奇对称双边指数傅里叶变换、奇对称双边指数傅里叶变换f(t)0t1-10*信号与线性系统第
5、6讲83.63.6常用信号的傅里叶变换常用信号的傅里叶变换n n4 4、矩形脉冲信号、矩形脉冲信号 t 0*信号与线性系统第6讲93.63.6常用信号的傅里叶变换常用信号的傅里叶变换n n5 5、符号函数、符号函数n函数形式f(t)n不便直接计算，采用奇双边指数函数f1(t)在 0替代n计算傅立叶变换n振幅频谱n相位频谱*信号与线性系统第6讲103.63.6常用信号的傅里叶变换常用信号的傅里叶变换n n符号函数波形符号函数波形f1(t)10t- -1 1tSgn(t)+ 1-10 0a-a 0 0 00 0*信号与线性系统第6讲113.63.6常用信号的傅里叶变换常用信号的傅里叶变换n n6
6、6、冲击函数傅立叶变换对、冲击函数傅立叶变换对 时域f(t)为冲击函数 频域F(j)为冲击函数t01010t0*信号与线性系统第6讲123.63.6常用信号的傅里叶变换常用信号的傅里叶变换n n7 7 、冲激偶傅里叶变换对、冲激偶傅里叶变换对 时域f(t)为冲击偶函数 频域F(j)为冲击偶函数*信号与线性系统第6讲133.63.6常用信号的傅里叶变换常用信号的傅里叶变换n n8 8、阶跃函数的傅里叶变换、阶跃函数的傅里叶变换n阶跃函数分解n利用已有结果求解u(t)0t0*信号与线性系统第6讲143.73.7周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换n n1 1、问题的提出、问题的提出n周期信号可
7、以展开为傅里叶级数n非周期信号采用傅里叶级数表示不便，引入傅里 叶变换n这样一对傅里叶变换计算方式如何能在周期函数 里面进行应用？n n2 2、求解思路、求解思路n傅里叶级数是三角函数或指数函数的集合n需要知道指数函数ejt、 e-jt的傅里叶变换n通过欧拉公式就能知道三角函数的傅里叶变换*信号与线性系统第6讲153.73.7周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换n n3 3、指数函数、指数函数e ejtjt的傅里的傅里叶变换叶变换n计算表达式（不宜直 接计算）n借鉴1的傅里叶变换*信号与线性系统第6讲163.73.7周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换n n4 4、周期信号傅里叶变换、
8、周期信号傅里叶变换n周期信号的傅里叶级数表示f(t)n对f(t)进行傅里叶变换n将指数傅里叶变换代结果仍然是离散频谱结果仍然是离散频谱*信号与线性系统第6讲173.93.9帕塞瓦尔定理与能量频谱帕塞瓦尔定理与能量频谱n n1 1、问题提出、问题提出n傅立叶变换物理意义明确n信号分析对实际量的关注n功率信号信号的功率n能量信号信号的能量n多角度关注信号能量的分布n时域上考虑能量的分布n频域上考虑能量的分布n能量的分布对提取有用信号、抑制无用信号的处 理至关重要*信号与线性系统第6讲183.93.9帕塞瓦尔定理与能量频谱帕塞瓦尔定理与能量频谱n信号功率的定义：n表示电压或电流信号在1欧 姆电阻上所
9、消耗的平均功率n时域表达式n频域表达式推导思路n根据周期信号的傅里叶级数 表达式，经过积分、求和顺 序交换进行推导n n2 2、功率信号的功率在频域的表示、功率信号的功率在频域的表示*信号与线性系统第6讲193.93.9帕塞瓦尔定理与能量频谱帕塞瓦尔定理与能量频谱且 cn 和 c-n 是一对共轭复数，即 cn c-n = | cn | 2 ，于是*信号与线性系统第6讲203.93.9帕塞瓦尔定理与能量频谱帕塞瓦尔定理与能量频谱n帕塞瓦尔定理的物理意义n周期信号的平均功率等于该信号在完备正交函数集中各分量的平均功率之和。(正弦级数表示)n或者说：周期信号的平均功率等于频域中的直流分量和各次谐波分
10、量的平均功率之和。*信号与线性系统第6讲213.93.9帕塞瓦尔定理与能量频谱举例帕塞瓦尔定理与能量频谱举例n一周期矩形脉冲信号 f (t) ，其A=1，T=1/4 ， = 1/20 ，试求在有效频带宽度（02/ ) 内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。n将A=1, =1/20，T=1/4 和 = 2 /T=8 代入上式,作出频谱和功率谱。n可见，在（02/ ) 内，包含有一个直流分量和四个谐波分量。周期信号的平均功率为f (t) A- T T 0t) 40(=nSa51Cn1/58 Cn040 (|Cn|2)(1/25) =2/ *信号与线性系统第6讲223.93.9帕塞瓦
11、尔定理与能量频谱举例帕塞瓦尔定理与能量频谱举例n在有效频带宽度（02/ ) 内的功率*信号与线性系统第6讲233.93.9帕塞瓦尔定理与能量频谱帕塞瓦尔定理与能量频谱n n3 3、能量信号的能量在、能量信号的能量在 频域的表示频域的表示n信号能量的定义n表示电压或电流在1欧姆 电阻上所消耗的总能量n时域表达式n频域表达式推导n利用信号的傅里叶变换将 时域表达式转换到频域n直接求解不方便，展开为 两个函数之积，经过交换 积分变量*信号与线性系统第6讲243.93.9帕塞瓦尔定理与能量频谱帕塞瓦尔定理与能量频谱n n频域表达式推导雷利定理频域表达式推导雷利定理（RayleighRayleigh s
12、 theorems theorem）由于f(t)为实数，F(-j)= F*(j)， 又由于| F(j)|是 的偶函数,故*信号与线性系统第6讲253.93.9帕塞瓦尔定理与能量频谱帕塞瓦尔定理与能量频谱n n能量频谱函数能量频谱函数n能量采用能量密度频谱函数表示n能量频谱定义：n某角频率 处的单位频带内的信号能量。n单位：焦耳/弧度/秒n根据密度函数的性质，具有同样振幅频谱而相位频谱不同的能量信号有相同的能量频谱。f(t )t0A 2 2A4 04 2F(j)22 4 6 0G( )A222 -f(t )t0A*信号与线性系统第6讲263.93.9帕塞瓦尔定理与能量频谱帕塞瓦尔定理与能量频谱n
13、 n4 4、信号的脉冲宽度与频带宽度、信号的脉冲宽度与频带宽度n n基于能量的定义基于能量的定义n n有效脉宽的定义：有效脉宽的定义：n有效脉宽 0为时域中绝大部分 能量集中的那段时间，表示为n式中 是时间间隔 0 内的能量 占总能量的百分数n一般选 = 90 %。n n有效带宽的定义有效带宽的定义: :n有效频带宽度 Bs 为在频域中绝大 部分能量集中的那一频段,n公式中一般亦取90%n n基于最大值的定义：基于最大值的定义：n等效脉宽：脉冲从最大幅值下 降到其1/K的时间间隔的两倍；n等效带宽：从频谱密度在零频 时的最大幅值F(0)下降到其 1/K时所对应的频率.n n后者的定义有局限性后
14、者的定义有局限性*信号与线性系统第6讲273.93.9帕塞瓦尔定理与能量频谱帕塞瓦尔定理与能量频谱f(t)t01 2 24 04 2 F(j)2Bs01f（t）t01k高斯脉冲0.BsF(j)1 kF(0)等效脉宽 0：等效带宽 Bs ：等效脉宽 0： 等效带宽 Bs ： 2/*信号与线性系统第6讲28本讲小结本讲小结n n常用函数的傅立叶变换常用函数的傅立叶变换n指数函数可收敛的n阶跃函数、冲击函数、符号函数n傅立叶变换积分的技巧变换更换、分项对比n n周期函数的傅立叶变换周期函数的傅立叶变换n指数函数、三角函数的傅立叶变换n周期函数的傅立叶变换及其频谱离散性n n信号能量的频域表示信号能量的频域表示n功率谱和能量谱n信号的有效带宽、波形的有效脉宽信号与线性系统信号与线性系统第第 6 6 次课外作业次课外作业教材习题教材习题: : 3.23、 3.24*信号与线性系统第6讲30
