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1、数学可以教给孩子什么？一位小学数学教师的思考与实践我们常常把教师比作园丁， 把受教育的学生比作树苗。 在树苗成长的过程中，园丁的主要作用应该是什么？河西区马场道小学青年数学教师张菁提出了这样的观点：作为园丁， 教师的首要任务并不是用剪刀给小树修枝剪叶（特别是不能剪成“千篇一律”），而是提炼知识中的“养分”，给树苗施肥、育根。她认为教师的主要作用是“育根”，因为根是成长的基础，根系发达了，小树才能枝繁叶茂，千姿百态。那么怎样育根？怎样将知识化为养分？她在自己的教学专著形变质通数学基础教育感悟中提出了很多值得体味的见解和理念。知识中包含着养分， 但单纯地传授知识并不等于给学生养分。数学不仅是计算、
2、 解题，数学中的养分包括学科思想文化，科学的思维方法以及人生哲理。对于学生来说，这些比数学知识本身更为重要。所谓育根，就是要把这些养分提炼出来，潜移默化地传输给学生，在他们心中形成积淀。 这样，即使学生在今后的生活工作中用不上所学的数学知识，这些思想和哲理也能让他们受益终身。张菁教书与育人似乎是一个老生常谈。教书传授知识与育人思想品德教育二者如何有机结合（所谓在学科教育中贯穿德育），一直是一个尚待解决的问题。特别是在升学压力日益加大的情况下，让学生把知识记住，考出好成绩，成为许多老师的主要目标。而河西区马场道小学青年数学教师张菁，却对数学教学所具有的教育功能不断深入思考， 提出“育根”的理念，
3、 并在教学实践中努力付诸实施且取得成效， 这是十分难能可贵的。 她把“为学生的人生服务”作为自己的宗旨， 努力提炼数学知识中的养分，去激发学生的思维快感和求知欲，陶冶学生的情操，引导学生学会“数学地”观察、分析社会，解决人生中的种种问题。于是，数学在她和她的学生眼中，成为幽默的、变通的、有生命的知识。数学的幽默“树上七（骑）个猴，地上一个猴，一共几个猴？”这是大家都很熟悉的赵本山小品中的一个“包袱”。当人们将个与个相加得出共有个猴的结论后，却被告知错了，正确答案应为只，因为树上并不是个猴，而是骑个猴。这是一种思维的幽默。 正是“七”与“骑”之间的概念偷换，将人们引入“歧途”，苦思冥想之时，猛然
4、甩出“包袱”， 逗得人开怀大笑，让人感到豁然开朗的幽默意境。在张老师看来，数学中也包含着许多这样的幽默成分，很多概念之间有着极具隐蔽性的相同之处，条件可以相互转换，结果往往殊途同归。让学生领悟这种幽默，用思维本身的乐趣去激发学生学习数学的兴趣，这是张老师追求的一种教学境界。一次张老师给学生出了这样一道相遇类型的行程应用题，行程问题是最让学生头疼的数学教学难点之一。小明每分钟走米， 小刚每分钟走米， 小狗每分钟跑米。现小明和小狗在地， 小刚在距地米的地，三者同时从所在地出发， 两 人相向而行， 小狗则在两人之间不停地往返跑，直至两人相遇。问相遇时小狗跑的路程。学生们个个皱起眉头， 冥思苦想，教室
5、的气氛也由先前争先恐后的热闹渐渐冷却下来。 “老师，这题是不是出错了？”一个学生打破了寂静。“是呀！只说小狗在两人之间不停地往返跑，但往返的次数不知道。”“就是知道往返跑的次数，也求不出小狗跑的路程，因为每次往返跑的米数都不同。”, 学生们七嘴八舌地说着，都想通过寻找狗跑的路线来求出狗跑的路程。但由于小狗每次跑的单程米数都是逐步缩小的变数，往返的次数又不得而知，思维被堵塞了。学生们不知道，他们已被老师巧妙地“引入歧途”。“老师，这道题太难了！”“是吗？”这时张老师又给出了另一道题：小明每分钟走米， 小刚每分钟走米， 小狗每分钟跑米。现小明在地，小刚在距地米的地， 同时相向而行，几分钟相遇？如果
6、小狗从两人相向出发时一直不停地往返跑，求两人相遇时小狗跑的路程。学生们很快地求出了两人的相遇时间，解法是 （）（分钟）。有了时间，小狗跑的路程呢？同学们恍然大悟，一个浅显的道理就隐藏原题中： “狗跑的速度狗跑的时间狗跑的路程”，即（米）。在顺利解题的一瞬间，学生感受到走出误区、 突破思维瓶颈的巨大快乐， 山穷水尽与柳暗花明的强烈反差， 使学生享受到思维中的幽默。 速度和相遇时间合走路程；合走路程相遇时间速度和； 合走路程速度和相遇时间，这些看似枯燥费解的基础知识，一下子变得生动而有趣， 激发着孩子们进一步探究的兴趣。数学大师陈省身先生曾用了孩子们最易接受的字眼来介绍最深奥数学科学“数学好玩”。
7、教师如果能通过教学， 让学生从数学的繁杂中品味出简约、 从思维的困境中寻求突破的快感，那么就不难让学生领悟到大师所说的数学的“好玩”。数学的乐趣在于此， 学习的乐趣也在于此。学习源于兴趣是每位教师都明白的道理，但如何调动学生的学习兴趣却是值得思考的问题。表扬与激励虽能调动学生的行动参与，但这只是一种浅层次的带有功利色彩的动力，过分强调容易使学生以好胜心取代对知识本身的好奇心。 声光电等现代化的教学手段的应用虽能使课堂气氛变得活跃， 吸引学生的注意力， 但感官的刺激和吸引效果是短暂的。 而唯有由思维引发的对知识本身的兴趣和探究欲望，才会是持久的，学生终生学习的动力和热情正基于此。张老师说，激发学
8、生学习数学的兴趣不仅仅是看是否有效地调动学生的学习行为， 还要看学生学习过程中是否激发了认知活动与情感活动的有效参与。从数学知识本身出发，构造思维中的幽默，是一个增进学生心理投入的有效手段。从这一角度看， 数学教师的角色犹如幽默脚本的编剧。 这不仅是一种智慧和教学艺术，它的价值在于它所体现的“为学生人生服务”的理念。教师不可能将每一个学生都培养成数学家， 但是可以做到使每位学生学会欣赏数学，感受数学带来的快乐。如果我们的教师能在各科教学中体现这样的理念和艺术，那么我们的学生在他们宝贵的学习阶段所获得的就不再会仅仅是知识。变通中的数学如果我们将数学比喻为一棵大树，众多的数学知识就像是这棵大树的叶
9、子， 数学知识间的相互关系是连接这些树叶的枝干，数学的学科思想便是这棵大树强壮的根。 如果学生只会利用掌握的一些公式程序化地解答数学题目， 那么即使学生掌握再高深的数学知识，他们获取的也只不过是树木高端的一片叶子而已。当我们把数学的教与学局限于具体的数学知识， 那么学生拥有的知识再多， 也仅仅是片片树叶，而见不到完整的参天大树。张菁下课铃响了，松松兴奋地推开办公室的门， 来到张老师跟前：“张老师，我在周六的数学兴趣班上学了一个公式，可以很快地算出这样的题。” 说着他将一张数学兴趣班的试卷摊在张老师面前，指点着一道数学题：请计算、的和“相邻的数之间都相差， 这样的一串儿数叫等差数列， 可以根据等
10、差数列的求和公式来算出它们的和：（首相末项） 项数（）。”松松一口气说了下来。松松在数学方面很有天分，经常喜欢做一些课外题，数学成绩一直很优秀。然而面对一个小学四年级学生流利地运用高中的等差数列知识解答此题，张老师却并不感到兴奋。“你做得很对， 这个公式确实能够快速地计算出这样的题目。”张老师先鼓励他一番，随后话锋一转，故意卖起关子：“（）可以看成是利用等差数列求和公式计算，其实这种方法我们本学期也学过。 ”松松有点不服地说： “等差数列求和公式是中学才讲的，我们四年级哪儿学过？”“你不信？如果我们把这些数字用点子图来表示，这道题就会变成我们本学期学过的一个数学知识，好好想想，你一定能够想出来
11、！”松松带着问题疾步离开了办公室。第二天一早，松松带着一脸的兴奋与快乐再次出现在办公室。“张老师， 我知道了，等差数列求和公式就是我们四年级学过的梯形面积公式！”他一边向张老师展示着点子图（见下图）， 一边讲：“我把这一串数分别用小圆点表示， 就形成一个上底为、 下底为、高为的梯形。 求这串数字的和，就相当于求小圆点的个数，可以用梯形面积公式计算：（上底下底）高。” 松松的领悟让张老师十分兴奋，她进一步启发说： “我们如果站在数的角度去思考， 可以把这道求数字的题看成我们还未学过的等差数列求和知识； 如果站在图形角度去思考， 还可以把它理解为灵活运用梯形面积公式来解答数字求和问题。数学像不像变
12、戏法数学知识的这种变化正是数学最有趣的地方。请你接着变戏法， 把这道题用三年级的整数乘法来解答， 你能行吗？”“噢！ 我知道了！”松松思考片刻大声说了起来：“让减少、让增加；让减少、让增加， 它们的和不变，但原题就变成了个相加，可以表示为。”“好，那么你能再用梯形点子图来说明吗？”张老师步步紧逼。 松松全神贯注地看着图， 不一会儿大喊起来：“嗨！简单！把最后一行的小圆点移动两个到第一行，把倒数第二行的小圆点移动一个到第二行，不就变成了每行、 共行的长方形了吗！”（见右图）松松一脸的兴奋表明，他对于这道题的解答已不再是按照公式程序化地操作， 而是能够将所学数学知识创造性地进行运用了。在谈到这一教
13、学案例时张老师说，从上面题目的多种解法中可以发现，等差数列求和经历了三年级小学生可以理解的整数乘法，三、四年级小学生可以理解的平行四边形（长方形）、梯形的面积，最终到高中代数意义角度推导出的（首项末项） 项数的等差数列求和公式。而这种求和方法的演进恰恰是等差数列从“小”到“大”的“成长过程”。 这一过程呈现出的不同“特征”所反映的正是这一数学知识最本质、最一般的规律。一个数学知识可以在不同的情境下，表达为不同的形式，而这些不同的形式又都反映着相同的数学知识，它们只是从各个侧面反映着同一知识的本质。从中我们可以感受到数学所具有的丰富的变形性和高度的统一性。数学的变通性不仅仅体现在同一数学知识具有
14、不同的存在形式，还体现在不同的数学知识之间的普遍联系和相互转化，如怎样快速算出 的结果可以将其转化成。当我们感受到数学是一个变通的、 动态的有机体后， 作为数学教师就应该从数学的整体出发向学生展示数学的“生动”，让学生在“生动”中提高解决问题的能力，而不是在将数学“肢解”的状态下为学生提供“僵死”的公式和解题步骤。强调数学的变通性又给我们什么启示呢？张老师说不要“越位”在足球比赛中， 越位进球是无效进球， 因为它并不能体现真正的进攻力。然而在数学的教与学过程中，“越位”却常常被当作法宝。家长们把孩子送进各种提高班， 通过提前学习来加强孩子解答数学题的能力。尽管这种方法在一定范围内能够提升孩子的
15、数学成绩，但让小学生运用未来的数学公式解答目前的数学灵活题，孩子收获的只是程序化的解题步骤和相对的高分，失去的却是感受数学难、 易互变的快乐和灵活解决问题的能力。同样，不少学校开办所谓数学特长班，采取压缩学制和学习提速的办法，匀出时间对学生进行“深造”，专门为参加数学竞赛做准备。虽然面对飞快的授课， 特长生们尚可轻松地跟上；面对并不轻松的竞赛题，他们也能够顺利地解答，但是将学生的数学天分用于追赶飞快的“列车”，这是不是一种浪费？竞赛高分是否是“越位进球”的产物？竞赛题是否激发了数学优秀生的创造潜能？增强学生解决问题的能力，是数学教与学的目的之一。 通过增加解题实践的难度， 来促进解题能力的提高， 是数学教学通常采用的方法。但值得注意的是， 应关注解决难题的思维方式。运用已有的知识解决未来问题， 需要的是创造性运用知识解决问题的能力；而运用未来的知识解决现有问题， 则是一种超前的、 记忆性的解题操练。 因此，在数学的教与学过程中不宜提倡“越位”，做到这一点需要用“普遍联系，相互转化”的辩证思想看待变化的数学。让数学“气血通畅”加大解题量也是提高学生数学学习能力的常用法宝之一。数学能力的提高依赖于一定量的解题实践，但一味增加解题量， 未必就能够真正提高这种能力。 只有将蕴含在不同解题
