《数学学习方法之数学解题无间道》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学学习方法之数学解题无间道（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数学解题无间道（一）数学学科中的解题方法可谓不少，待定系数法、 反证法、 递推法、 类比法、 消元法、 等等。然而， 当我们面临一些具体问题时却往往不知所措，坠入令人痛苦的无间道。实际上，万法归宗，我们只用一种方法足已。此法足以让你豁然开朗，令你今生享用不尽！疑惑吧。这是什么方法？那是我有别于他人的商业机密，暂时按下不表。 调住客户胃口， 以便永久经营，笑噎吧。“多导一”闪亮登场我成为老师以前在跟着我的数学老师学习时会不时的产生这样的想法，老师太厉害了，这种方法我怎么也想不到！我当时坠入令人痛苦的无间道。后来我当了老师后经过长期的苦心研究才知道其实每一种方法都是有条有理，水到渠成的，只可惜我的
2、数学老师没讲清楚。这就是 “多导一”产生的背景。现在我将这种方法交给大家，相信你们会从中找到快乐和自信的。第一节解题的基本规律一连续化简是解每一个数学题的共同特征和思考方式：大家都解题无数，可曾知道当你从上小学开始，我们解决数学问题的思维方法就已经和你现在的思维方法是非常相似了，这就是连续化简，将一个未知的问题转化为已知的基本问题请看：例1、已知,a b c为正数，求证：32abcbcacab（1）分析：此题条件简单，结论复杂，我问大家：此题是从条件顺推，还是从结论逆推呢？条件简单，从条件开始顺推，得出结论，这叫由简到繁，这是化繁嘛！数学中有这种说法吗？如果你这样想，你就已经坠入令人痛苦的数学
3、无间道反之， 从结论出发到条件则为大家做梦都会的化简想：为了证明（1） ，应该先证明怎样一个稍微简单的式子呢？ （1）中特征是分式多，比分式简单的当然是整式，于是可发现，应先证明3223223222220aa ba cbb ab ccc ac b（2）（,a b c为正整数，使各分母不为0， （1）和 (2) 等价）下一步怎么办？你说多项式中各项已不能合并时该怎么办？这就是自古华山一条路，利用因式分解化简结合 (2) 中系数特征，应该考虑将 (1) 转化为：3223322332230aa bb abbb cc bcca cc aa（3）怎样证明（ 3）？刚才已讲了，就是利用因式分解化简，再将（
4、 3）转化为：222222()()()()()()()()()0abaabbab abbcbbccbcbccaccaaac ca(4) ，同理，将 (4) 进一步转化为：222222()(2)()(2)()(2)0abaabbbcbbcccaccaa(5) (5) 再转化为：222()()()()()()0ababbcbccaca(6) ,a b c都是正数，(6) 成立，因之与(6) 等价的 (5),(4) (1) 成立另外，仔细推敲 (1) 的特征，尽量达到见缝插针的程度你会发现什么有趣的地方？这就是 （1）的左边任何两个分母的和减去第三个分母，所得的差刚好时第三个分母的2 倍，为了应用这
5、个特征，依次用，表示三个分母，则（1）转化为：13 () 22BCACABABCABC（2）要证明（ 2）应该先证明：1113BCACABAABBCC（）要证明（ 3）应该先证明：()()()6BACACBABACBC（）2,2,2BAABCAACCBBC （ 为 什 么 ？ 这 是 直 接 用 书 上 的 一 个 定 理 得 到 的 ， 不 会 不 知 道 吧 ！ ）所以（ 4）成立然后呢？当然是(4)(3)(2)(1)，一切 ok! 归纳： 解此数学题即连续应用条件相同 （本质原因是条件简单而结论复杂）而结论稍微简单的题目替代原题，一直到该题被转化为一项数学基础知识的一个过程解其他数学题也
6、有这种特征吗？回答是肯定的！几何题，三角函数题等等，无一不是！我会举例教会大家这种通用解题术多导一，且听下回分解数学解题无间道（二）记得我在第一次教高三时，我给学生出了很多练习题。当时我校教务主任的女儿也在我的班上，有一次，他问我：你觉得应该是以法导题还是以题导法呢？我诚惶诚恐，是呀！究竟是应该把重点放在思维方法的训练还是盲目大量地做练习题呢？同学们，你们说呢？上一次， 我们以一个不等式的问题为例给大家揭示了解题的基本规律。同时， 用解法二留下了一个伏笔， 我们将在下面给大家讲解。而这次我要向大家介绍的主要内容是从各个不同的知识点、 不同的综合题型出发，以多个例题为例证，让大家体会到其解题的基
7、本规律的确完全一致！这为我们万法归一打下了坚实的基础。第一节解题基本规律（续）我先谈例 1 留下的伏笔，请问：下述问题你会做了吧？已知,a b c d为正数，求证：43abcdbcdcdadababc（ 1）你说用例 1 中的解法1 还是解法2 呢？不言而喻， 如果用解法一， 计算量很大， 用解法二，当然轻松愉快。我们可以令：,AbcdBcda Cdab Dabc那么结论转化为求证：14() 23BCDADACBDABCABCDABCD(2) 有同学会说：什么万法归一，不就是换元法吗？对！就是大家学过的换元法！请大家再仔细回味一下，这种换元的作用是什么？！它成功的将原来的结论极大的化简！（不是
8、吗？你比较 (1) 和 (2) 的分母呀。） 这正是遵循了我们解题的基本规律连续化简。正因为如此，为了化简我当然会用换元，这是自然而然，不学也会用呀！上述事实表明： 同学们不要只停留在诸多数学方法上的形，而应该领悟到数学思想的神。 这就是连续化简。下面请看来自不同知识点的例子，它们无一不遵循连续化简的原则！例 2、coscos2 sinsinABABC BA中 ， 已 知（ A） ，求证：90C (B) 分析：假如从结论（）开始思考，可能会这样想：要证90C，先证什么？如此一来，选择对象就多了，如：222sin1, sin,aCAabc c等等，你自己都可以随便写出一些。告诉你，你已入地狱了！
9、这是化繁嘛！。遵循解题基本规律，该怎么做？当然是连续化简！所以， 此题应该从条件入手分析，因为条件复杂，结论简单。这才是化简呀，如此，你一定会感到海阔任鱼跃，天高任鸟飞之畅快心情。先化简（） ，因为（）为分式，所以易想到将它化简为：sincossincos2 sinsinAABBAB1()A仔细推敲上式左边两项的特点，会想到连续化简上式为：2sincos2 sincos4sinsinAABBAB ，sin 2sin 24sinsinABAB2()A下面又怎么办？上式与结论还没联系啊！所以还要连续化简！怎么化简？2()A各项既不能合并又不能分解，咋办呢？仔细推敲上式特征，它左边是和，右边是积。有
10、这方面的知识吗？有！教材中有下述结论：（ 1）1sincossin()sin() 2（ 2）sinsin2 sincos 22将他们用于2()A，可得：sin() cos()cos()cos()ABABABAB3()A似乎3()A比2()A复杂？非也！3()A不比2()A多一项， 且只有两种角，2()A有几种？ 4种！3()A中各项系数相等，利于因式分解，2()A则没有这种优势。你说他俩哪个更简单？现在，化简3()A可能性已减小，进一步仔细推敲3()A，可知在题目条件下，cos()ABcos()AB（为什么？自己想啦，提示：在余弦函数是减函数）于是sin() cos()ABAB，此时，sin(
11、)AB 0， （该知道吧，想想三角形啦）所以cos()AB，进而由3()A知cos()cos()sin() cos()ABABABABcos()1sin()ABAB这个结论说明，090AB，即、都是锐角。闹了半天，这些东西与结论有联系吗？有！现在已知道cos()0AB，又想证明90C？在三角形中，180()CAB，当然coscos180()cos()CABAB，已知道cos()0AB，所以只需cos()0AB1()B。想：这是一个不等式，由题目条件能导出这样的不等式吗？由、是三角形内角只能得出AB，这是梁山泊吴用呀！所以我们只能考虑coscos 2 sinsinABBA（ A） 。联想需cos
12、()0AB，并且我们已知道，cos()coscossinsinABABAB, 所以只需证明：coscossinsin0ABAB3()B。仔细观察（ A） 、3()B，三角函数全部一样，且（）中coscosAB与之间用号连接，3()B中coscosAB与用乘法连接，一个为等式，另一个为不等式。二者有联系吗？有，就是这个结论：如果, 2aba bab为 正 数 ， 则现在已知道cos()0AB，结合、是三角形内角可知：、必是锐角。这说明（）中各项都是正数，哈哈，上述结论能够用于（）喽，用之！coscoscoscos2 sinsinsinsinABABBABA，再结合（）得：coscoscoscos
13、221coscossinsin sinsinsinsinABABABBA BABA，到此为止，3()B很明显已经成立！当然，（）亦成立前面我谈到：海阔任鱼跃，天高任鸟飞，现在老师让你体会这种感觉。（）当我们得到sin() cos()cos()cos()ABABABAB3()A时，已经与条件有联系了，此话怎讲？ABC 中，180()CAB，故有：sinsin()coscos()CABCAB以 及，结合需证明：90C (B), 可以将结论转化为证明：sin()1cos()0ABAB或。Ok, 现在有两条路，证明：sin()1cos()0ABAB或。我告诉你，无论你走哪条路，条条大路通罗马！可谓海阔
14、天空。现在以证明cos()0AB为例做提示， （我不详细做过程了，我累坏了！）利用2sin()1cos()ABAB代入3()A，再化其如下形：cos()0AB，最后可得cos()0AB，ok。（2） 、在知道、为锐角后，易联想将（）化为：sin(90)sin(90)2 sinsinABBA，想：和为，可假设：sin(90)sin(90)11. sinsinsin(90)sinsin(90)sin90, 909090ABBAABBAABBAABAB， 则所 以，再 由 正 弦 函 数 的 单 调 性 可 得 ：且懂了吗？有什么结论？90AB，所以90C。怎么样？是不是海阔天空？归纳：化繁寸步难行
15、，化简海阔天空此真乃解题基本规律也！本来还想把其他知识点的例子一一列举，我实在太累了，下次来吧！数学解题无间道（三）无间道 （二） 让大家初步体会到数学解题基本规律带来的一丝轻松和宽慰，那真是享受海阔天空的必经之路。相信大家还是有疑问的，如：难道立体几何问题的解题规律与代数问题的解题规律是一样的吗？肯定会有同学说：荒唐！这怎么可能呢？！ok, 本老师现在就告诉你，还真是一样的， 不是想不到， 而是你可能没有意识到！本次讲解将完成本单元尚未完成的所有任务，让我们掌握解题规律，从战略高度上来指导你将来的学习。第一节解题基本规律（终结版）这一次，我举两个例题，一个是平面几何问题，另一个是立体几何问题
16、。由于解析几何问题是用代数方法解几何问题，其解题规律是连续化简是容易理解的，在这里就我就略去不讲，请原谅。例、ABC 中，已知2,2,BCBCAB求 证 ：A=90问题一分析：这是一个平面几何问题，我现在就给大家讲清楚，此问题的思考方法肯定是遵循解题基本规律，即：连续化简！首先看一个聪明的做法：想：要证明90 ,A先证明什么呢？假如考虑延长BAD到，去证明CADA （A）问你：怎样证明（）？太难说！ 如果说使,ADABCDCB去 证 明推想去证明CABCAD 。此时只能考虑用（），再问：如何证明CDCB ？这时你又傻眼啦！哈哈哈哈。假如你不服输：回答说可作BCD 的中位线AM，去证明AMBM，哦！ My God!无间道，你怎么总
