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1、第四章 线性系统的根轨迹法4.1 4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念4.2 4.2 根轨迹绘制的基本规则根轨迹绘制的基本规则4.3 4.3 广义根轨迹广义根轨迹4.4 4.4 系统性能的分析系统性能的分析第四章 线性系统的根轨迹法本章要求1、正确理解根轨迹的概念；2、掌握根轨迹的绘制法则，能熟练绘制 根轨迹； 3、了解广义根轨迹；4、能根据根轨迹定性分析系统指标随参 数变化的趋势； 5、掌握确定闭环零极点及计算系统动态 指标的方法。 自动控制原理课程的任务与体系结构 4.1 4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念闭环控制系统的稳定性和性能指标主要由闭环 系统极点在复平面的位置决
2、定，因此，分析或 设计系统时确定出闭环极点位置是十分有意义 的。根轨迹法根轨迹法根据反馈控制系统的开、闭环传 递函数之间的关系，直接由开环传递函数零 、极点求出闭环极点（闭环特征根）。这给 系统的分析与设计带来了极大的方便。 4.1 4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念n根轨迹法n 一种由开环开环传递函数求闭环闭环特征根的简 便方法。它是一种用图解方法表示特征根与系 统参数的全部数值关系的方法。n 1948年，由伊文思（W. R. Evans）提出 。n根轨迹法的任务n 由已知的开环零极点和根轨迹增益，用 图解方法确定闭环极点。 特点： （1）图解方法，直观、形象；（2）适用于研究当系
3、统中某一参数变化时，系统性能的变化趋势； （3）近似方法，不十分精确。根轨迹法是控制系统的三大分析校正方法之一。 44.1.1 根轨迹概念根轨迹(root locus)简称根迹，它是开环系统某一参数（如开环增益）从零变到无穷时，闭环系统特征方程式的根在s平面上的变化轨迹。 4.1 4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念44.1.1 根轨迹概念根轨迹(root locus)简称根迹，它是开环系统某一参数（如开环增益）从零变到无穷时，闭环系统特征方程式的根在s平面上的变化轨迹。当闭环系统为正反馈时，对应的轨迹为零度 根轨迹；而负反馈系统的轨迹为 根轨迹 。当变化的参数为开环增益时，所对应的根
4、轨迹称为常规根 轨迹；变化的参数为开环传递函数中的其他参数时，所对 应的根轨迹为广义根轨迹。例：系统结构图如图所示，分析l 随开环增益K变化的趋势。 解 ： K : 开环增益 K*: 根轨迹增益44.1.2 根轨迹与系统性能系统性能：稳定性、稳态性能、动态性能。 4.1.3 闭环零、极点与开环零、极点之间的关系控制系统的一般结构如右图，相应的开环传递函数为 一般传递函数可写为则系统闭环传递函数 G(s)C(s)R(s)H(s)由上式可以得到如下关系1）闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路根轨迹增益；对于单位反馈系统，闭环系统根轨迹增益就等于开环系统根轨迹增益；2）闭环零点由开环前向通路传递
5、函数的零点和反馈通路传递函数的极点所组成；对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点；3）闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益 均有关。u根轨迹法的基本任务在于，如何由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解法找出闭环极点。根据复数等式两边的幅值和相角应分别相等的原则，可得绘制系统根轨迹的基本条件，即幅值条件：相角条件：G(s)C(s)R(s)H(s)4. 1. 4 根轨迹方程图示系统 ，闭环特征方程为即 根轨迹 方程式中， 分别 代表所有开环零点、 极点到根轨迹上某一 点的向量相角之和。相角条件是确定s平面上根轨迹的充 要条件；当需要确定根轨上各点的值时，使用幅值条件。注意 在实际应
6、用中，用相角方程相角方程绘制根轨迹， 而模模 值方程值方程主要用来确定已知根轨迹上某一点 的 值。 模值方程模值方程不但与开环零、极点有关，与开环 根轨迹增益有关；而相角方程相角方程只与开环零、极 点有关。 相角方程相角方程是决定系统闭环根轨迹的充分必要充分必要 条件条件。 4.2 4.2 根轨迹根轨迹绘制的基本规则绘制的基本规则180根轨迹的绘制规则（ ） 规则1 根轨迹的起点和终点根轨迹起于系统开环极点，终于系统开环零点。如果开环零点数m小于开环极点数n，则有(n-m)条根轨迹趋向于无穷远。规则2 根轨迹的分支数、对称性和连续性 根轨迹的分支数与开环零点数m、开环极点数n中的大者相等，它们
7、是连续的并且关于实轴对称。 根据根轨迹的对称性，只需要作出上半s平面的根轨迹，然后利用对称关系，即可画出下半s平面的根轨迹。p1j p2z规则3 根轨迹的渐近线(与实轴的交点和夹角) 当开环极点数 n 大于开环零点数 m 时，有n-m条趋向 无限零点的根轨迹的走向。 （1）渐近线与实轴的倾角（2）渐近线与实轴的交点式中， 分别为开环系统的零点和极点。注：只有在 时，需要计算渐近线与实轴的交点 和夹角。 规则4 根轨迹在实轴上的分布 实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。 j 例：已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根迹。-1，-2 右侧实零、极点数=3
8、-4，-6 右侧实零、极点数=7j -6 -5 - 4 -3 -2 -1 0 解：无零点，有两个极点其根轨迹有两条分支趋向无穷远 渐近线倾角：例： ， 绘制根轨迹。渐近线与实轴只交点：wjs0-0.5a两条根轨迹分别从极点0、0.5出发 汇合于a点，然后分离，分别沿90， 90的渐近线趋向无穷远。规则5 根轨迹的分离点与分离角两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即分 开的点，称为根轨迹的分离点（或会合点），它对应于特征 方程中的二重根。分离角定义为根轨迹进入分离点的切线方 向与离开分离点的切线方向的夹角。 分离点坐标d： 分离角： 式中， 分别为开环系统 的零点和极点; 为在s平面上 相
9、遇又立即分开的根轨迹的条 数， 。分离点会合点l=2时，分离角必为直角。4.2 4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 分离点（会合点）的坐标 由下列方程所决定整理得4.2 4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 说明：用分离点方程式求解后，需将所求结果代入 特征方程式中验算。只有当与之对应的 值为正 值时，这些分离点才是实际的分离点或会合点。n如果实轴上相邻开环极点之间存在根轨迹，则在 此区间上必有分离点。n如果实轴上相邻开环零点之间存在根轨迹，则在 此区间上必有会合点。4.2 4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 规则6 根轨迹的起始角和终止角(开环极点的出射角和开环零点的入射角)
10、 起始角 ：根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角； 终止角 ：根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角。 根轨迹的 出射角根轨迹的 入射角u 出射角对复极点，入射角对复零点。起始角 ： 例：起始角终止角 ： 规则7 根轨迹与虚轴的交点当根轨迹增益K*增加到一定数值时，根轨迹可能越过 虚轴进入右半平面，出现实部为正的特征根。根轨迹和虚轴 相交时，系统处于临界稳定状态。则闭环特征方程至少有一 对共轭虚根。 根轨迹与虚轴交点的求法：1）劳斯判据法应用劳斯判据求出系统处于稳定边界的临界值K， 由K值求出相应的值。2）代数法 把 代入特征方程联立求解方程，得根轨迹与虚轴的交点值和相应的临界K
11、值。例：系统的开环传递函数 求根轨迹与虚轴的交点。 解：方法1代数法解方程得：将 代入系统闭环特征方程方法2Routh判据法Routh表：S3 1 2S2 3 kS1 0S0 k 0K=6时，S1行全为0辅助方程：3S260 解方程得：规则8 闭环极点的和与积为系统特征方程的系数闭环极点之积：闭环极点之和：规则9 开环增益的求取利用幅值条件，可以确定根轨迹上任一点所对应的K*值，也可在根轨迹上标出一些点的K*值。4.2 4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 根轨迹绘制法则归纳如下：（1）起点（ ）。开环传递函数的极点即根轨迹的起点。（2）终点（ ）。根轨迹的终点即开环传递函数的零点（包括
12、m 个有限零点和（n-m）个无限零点）。（3）根轨迹数目及对称性。根轨迹数目为 ，根轨迹对称于实轴。（4）实轴上的根轨迹。实轴上根轨迹右侧的零点、极点之和应是奇数。4.2 4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 （5）分离点与会合点。分离点与会合点满足方程 （6）根轨迹的渐近线。渐近线的倾角 渐近线交点 4.2 4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 （9）根轨迹走向。如果特征方程的阶次 ，则一些根轨迹 右行时，另一些根轨迹必左行。（8）根轨迹与虚轴交点。把 代入特征方程式 ，即 可解出交点处的临界 值和交点坐标。起始角 ： 终止角 ： 例：已知单位反馈系统的开环传递函数，试绘制根轨迹的大
13、致形状。解：开环极点：P1=0，P2=-3，P3=-1+j，P4=-1-j无开环零点， n-m =4 实轴上0，-3为根轨迹渐近线与实轴交点：渐近线与实轴正方向的夹角：根轨迹实轴的分离点（舍去）分离角根轨迹在开环极点p3处的起始角根轨迹与虚轴的交点（劳斯法）解得临界稳定的条件：K=8.16代入s2行无素构成的辅助方程-1.25-2.3p1p2p3p4135026.60用Matlab绘制根轨迹：n=1; d=conv(1,3,1,2,2),0; g=tf(n,d); rlocus(g)例已知单位负反馈系统开环传递函数为试画出 时的闭环系统的 概略根轨迹，并求出 时的闭环传 递函数及闭环极点。解；
14、根据根轨迹绘制法则，按步计算：nn=4，有四条根轨迹；n起始于开环极点0，20，2-j4, -2+j4 ，终于无穷远处；n实轴上的根轨迹在（0，20）区间；nn=4,m=0,则有四条根轨迹趋于无穷远，他 们的渐近线于实轴的交点和夹角为取5、根轨迹的起始角。解得6、分离点坐标d。舍7、根轨迹于虚轴交点。 系统特征方程解得解得则两个闭环 极点令令代入代入此时特征方程为利用综合除法，可求出其他两个闭环极点图419例48根轨迹图图4-18 常见闭环系统 根轨迹图 4.3 4.3 广义根轨迹广义根轨迹4. 3. 1 参数根轨迹在控制系统中， K*变化时的根轨迹叫做常规根轨迹。其他参数的根轨 迹统称为广义根轨迹。n除根轨迹增益 以外的其他参量（开环零点、开环极点、时间常数、反 馈比例系数等）从零变化到无穷大时绘制的根轨迹称为参数根轨迹。n研究参数根轨迹的目的：分析参数变化对系统性能的影响。绘制参数根轨迹图基本原理：引入“等效开环传递函数”，将绘制参数 根轨迹的问题化为绘制常规根轨迹的问题
