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1、学科素养培优系列(四)立体几何类类型一 线线面位置关系与面面夹夹角的大小问题问题【典例1】(12分)(2016全国卷)如图图,在以A,B,C,D,E,F为顶为顶 点的五面体中,面ABEF为为正方形,AF=2FD,AFD=90,且平面ADF和平面AEF夹夹角与平面BCE和平面BEF夹夹角都是60.(1)证证明:平面ABEF平面EFDC.(2)求平面EBC与平面ABC夹夹角的余弦值值.【谋定思路而后动】第一步:常规证明“思路清”第(1)问,证明面面垂直,只要采用面面垂直的判定定理即可迎刃而解.第二步:空间向量“显奇功”第(2)问,求平面与平面夹角,可利用空间几何图形的特征,建立空间直角坐标系,利用
2、空间向量求解.【规范解答不失分】(1)因为ABEF为正方形,所以AFEF.因为AFD=90,所以AFDF.因为DFEF=F,所以AF平面EFDC,2分AF 平面ABEF,所以平面ABEF平面EFDC.4分(2)由(1)知DFE=CEF=60.因为ABEF,AB 平面EFDC,EF 平面EFDC,所以AB平面EFDC,AB 平面ABCD.因为平面ABCD平面EFDC=CD,所以ABCD,所以CDEF,所以四边形EFDC为等腰梯形,5分以E为原点,如图建立坐标系,设FD=a,E(0,0,0),B(0,2a,0),C ,A(2a,2a,0),6分设平面BEC的法向量为m=(x1,y1,z1).8分令
3、x1= ,则m=( ,0,-1).设平面ABC的法向量为n=(x2,y2,z2),10分令y2= ,则 n=(0, ,4).设平面EBC与平面ABC夹角的大小为.cos=所以平面EBC与平面ABC夹角的余弦值为 .12分【阅阅卷教师师点迷津】【失分原因】(1)基础础不扎实实:没有理解和掌握直线线与平面垂直的判定定理.如:出现现了“DFAF,DF 平面EFDC,得出AF平面EFDC”的错误错误 .(2)逻辑逻辑 混乱,条理不清:如,在第(1)问问的论证论证 中,已知条件根本没有运用,而得出许许多与问题问题 有关的结论结论 ,即表现现出没有“因为为”、只有“所以”的推理过过程.(3)推理论证论证
4、目标标不明确:例如,第(1)问问的论证过论证过 程中,许许多考生将题设题设 中的所有条件可能得到的结论结论 全部表述后,推导导出与之相关的所有结结果,从而不能实现题实现题设结论设结论 的合理推理论证论证 .还还有学生由已知条件得出DF平面ABEF再得出平面CDFE平面ABEF.(4)错误错误 地自造条件:例如,题设题设 条件是:“五面体”,而许许多考生直接由“五面体”,得出CDEF,题设题设 条件是“平面ADF和平面AEF夹夹角与平面BCE和平面BEF夹夹角都是60”,学生不证证明直接得出DFE=60与CEF=60.(5)错误错误 或不恰当地建立空间间直角坐标标系:例如,以A为为原点,AB,A
5、F,AD所在的直线线分别为别为 x轴轴、y轴轴、z轴轴建立空间间直角坐标标系;以F为为原点,FA,FE,FD所在的直线线分别为别为 x轴轴、y轴轴、z轴轴建立空间间直角坐标标系等.(6)在没有通过论证过论证 的前提下,使用一些事实实性结论结论 :例如,设设平面BCE和平面ABC的夹夹角为为,直接应应用公式cos= 计计算平面BCE和平面ABC夹夹角的余弦值值.【答题规则题规则 】恰当建系,准确确定相关点的坐标标解题过题过 程中,要充分利用题设题设 中的垂直关系(必要时给时给予证证明),尽量使相关点在轴轴上,建立空间间直角坐标标系,看清题题目中给给出的各线线段的长长度,根据图图形的性质质,准确求
6、出相关点的坐标标,这这是后续续步骤骤的基础础,应应确保万无一失.【对应训练对应训练 再提升】在如图图所示的圆圆台中,AC是下底面圆圆O的直径,EF是上底面圆圆O的直径,FB是圆圆台的一条母线线.世纪纪金榜导导学号99972261(1)已知G,H分别为别为 EC,FB的中点,求证证:GH平面ABC.(2)已知EF=FB= AC=2 ,AB=BC.求平面FBC与平面ABC夹夹角的余弦值值.【解析】(1)如图,设FC中点为I,连接GI,HI,在CEF中,GIEF,又EFOB,所以GIOB;在CFB中,HIBC,又HIGI=I,所以,平面GHI平面ABC,又因为GH 平面GHI,GH 平面ABC,所以
7、GH平面ABC.(2)因为AB=BC,所以OBAC,又因为OO平面ABC,所以可建立以O为原点,OO为z轴,OA为x轴,OB为y轴的空间直角坐标系.因为EF=FB= AC=2 ,可得各点坐标分别为A(2 ,0,0),B(0,2 ,0),F(0, ,3),C(-2 ,0,0).所以 =(-2 ,- ,-3), =(2 ,2 ,0),设平面FCB的法向量为n=(a,b,c)所以可得令a=1,可得n=平面ABC的法向量为m=(0,0,1),所以cos=所以平面FBC与平面ABC夹角的余弦值为 .类类型二 线线面位置关系与存在性问题问题【典例2】(12分)(2016北京高考改编编)如图图,在四棱锥锥P
8、-ABCD中,平面PAD平面ABCD,PAPD,PA=PD,ABAD,AB=1,AD=2,AC=CD= .(1)求证证:PD平面PAB.(2)求直线线PB与平面PCD夹夹角的正弦值值.(3)在棱PA上是否存在点M,使得BM/平面PCD?若存在,求 的值值;若不存在,说说明理由.【谋谋定思路而后动动】第一步:定理证证明“快起步”第(1)问问,根据题题目中给给出的条件,利用线线面垂直的判定定理直接证证明.第二步:合理建系“公式解”第(2)问问,合理建立空间间直角坐标标系,求出相应应点的坐标标,利用线线面角公式sin=|cos|求解.第三步:假设设存在“验证验证 得”第(3)问问,是存在性问题问题
9、,解决方法是先假设设存在点M,设设 =,然后进进行分析求解,若有解,则则存在,若无解则则不存在.【规范解答不失分】(1)因为平面PAD平面ABCD,交线为AD,AB 平面ABCD,ABAD,所以AB平面PAD.2分因为PD 平面PAD,所以ABPD.又因为PAPD,PAAB=A,PA,AB 平面PAB,所以PD平面PAB.4分(2)取AD中点O,连接OP,OC.因为PA=PD,所以OPAD.又因为平面PAD平面ABCD,交线为AD,OP 平面PAD,所以OP平面ABCD.又因为AC=CD,所以OCAD.因为ABAD,所以OCAB且OC=2AB.如图,分别以OC,OA,OP所在直线为x轴,y轴,
10、z轴建立空间直角坐标系,则P(0,0,1),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0). =(1,1,-1), =(2,0,-1),=(0,-1,-1).6分设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则 所以z=2x,y=-2x.令x=1得,n=(1,-2,2).cos=所以直线PB与平面PCD夹角的正弦值为 .8分(3)方法一:假设存在M点使得BM平面PCD,设 =,M(0,y,z),由(2)知A(0,1,0),P(0,0,1), =(0,-1,1),B(1,1,0), =(0,y-1,z),10分有 M(0,1-,),所以 =(-1,-,).因为BM平面PCD,n为平面PCD的
11、法向量,所以 n=0,即-1+2+2=0.所以= .综上,存在M点,即当 时,M点即为所求.12分方法二:过B作BEAD,交OC于H,交CD于E.因为OCAB且OC=2AB,所以OHAB,OH=AB,BH=AO.所以H为OC的中点.所以EHOD,EH= OD.所以BE= AD且BEAD.在PD,PA上分别取点F,M,使得PF= PD,PM= PA,则FMAD,FM= AD.所以FMBE,FM=BE.所以四边形BEFM为平行四边形.所以BMEF.又因为BM 平面PCD,EF 平面PCD,所以BM平面PCD.因此,在棱PA上存在点M,使得BM平面PCD,且 【阅阅卷教师师点迷津】【失分原因】(1)
12、基础础不扎实实:没有理解和掌握直线线与平面垂直的判定定理及线线面垂直的性质质定理,造成解答过过程混乱.(2)关键键点体现现不足:写证证明过过程中,一些关键键点体现现不足,比如证线证线 面垂直时时,证证了两组组直线线垂直后,不写明两直线线相交;知线线面垂直时时,不写线线在面内,就得到线线线线 垂直.(3)解题过题过 程不规规范,公式书书写不到位:法向量的求解过过程未写方程组组;线线面角公式记忆记忆 不准确,解题过题过 程中未写原式公式;建系时时,未用文字说说明是如何建系的,不把相关点坐标标写出或在图图中标标出.【答题规则题规则 】1.写全解题题步骤骤,步步为为“赢赢”在书书写解题过题过 程时时,
13、对对于是得分点的解题题步骤骤一定要写全,阅阅卷时时根据得分点评评分,有则则得分,无则则不得分,如本题题中求出值值后,应说应说 明“在棱PA上存在点M使得BM平面PCD”,如无此得分点则则会扣掉2分.2.注意运算的准确性因为为利用空间间向量解决线线、面间间的垂直、平行关系,基本思路就是将其转转化为为向量问题问题 ,进进行空间间向量的运算,因此解题过题过 程中,在求方向向量、法向量及向量的运算时时,一定要准确无误误,如本例求解平面PDC的一个法向量用来计计算PB与平面PCD夹夹角的正弦值时值时 均要计计算准确,否则则可能会导导致结论错误结论错误 .【对应训练对应训练 再提升】如图图,在棱长为长为
14、2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别别在棱DD1,BB1上移动动,且DP=BQ=(02).世纪纪金榜导导学号99972262(1)当=1时时,证证明:直线线BC1平面EFPQ.(2)是否存在,使平面EFPQ与平面PQMN夹夹角为为直角?若存在,求出的值值;若不存在,说说明理由.【解析】方法一:以D为原点,射线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,).=(-2,0,2), =(-1,0,),
15、 =(1,1,0).(1)当=1时, =(-1,0,1),又因为 =(-2,0,2),所以 =2 ,即BC1FP.而FP 平面EFPQ,且BC1 平面EFPQ,故直线BC1平面EFPQ.(2)设平面EFPQ的一个法向量为n=(x,y,z),于是可取n=(,-,1).同理可得平面MNPQ的一个法向量为m=(-2,2-,1).若存在,使平面EFPQ与平面PQMN夹角为直角,则mn=(-2,2-,1)(,-,1)=0,即(-2)-(2-)+1=0,解得=1 .故存在=1 ,使平面EFPQ与平面PQMN夹角为直角.方法二:(1)如图1,连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知BC1AD1.当=1时,P是DD1的中点,又F是AD的中点,所以FP
