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1、 二项式定理复习天马行空官方博客：http:/ ；QQ:1318241189；QQ群：1755696321 1、二项式定理：、二项式定理：通项（第r+1项）：2 2、二项式系数的性质：、二项式系数的性质：I.在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项 式系数相等.如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最 大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等 并且最大.在二项展开式中，所有二项式系数的和等于 ；奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，都等于概念复习天马行空官方博客：http:/ ；QQ:1318241189；QQ群：175569632例例1 1、（1）如
2、果 的展开式中，第四项与第 六项的系数相等，求展开式中的常数项；（2）求 展开式中的所有有理项. 求常数项就是求求常数项就是求x x的零次幂的零次幂的项；的项； 求有理项就是求求有理项就是求x x的整数次幂的整数次幂的的项项. .(一)通项公式的应用注:在 的展开式中，已知前三项的系数成等差数列，问这个展开式中是否存在常数项？如果 有，求出常数项，如果没有，求出展开式的中间项。解：二项展开式中， 由已知，2 = ， 解得n=8或n=1（舍去）设展开式中第r+1项为常数项，则，令 0，得r= 不是整数，故二项展 开式中不存在常数项。由=8知中间项为第5项，所以第5项为 。例例2 2、巳知二项式
3、.（1）若展开式中第五项、第六项、第 七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项 式系数最大的项的系数； （2）若展开式中前 三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数 最大的项。 设设 的系数为的系数为 ，那么，那么 为最大的必要而为最大的必要而 不充分的条件是：不充分的条件是：. .2 21 11 1 + + + + r rr rr rr rA AA AA AA A且且+ +r r1 1T T + +r r1 1A A + +r r1 1A A( (二二) )项、项的系数、项的二项式系数项、项的系数、项的二项式系数解法一 因为（x2十3x十2）5(x2十3x)十25(x2十3x)5十 十
4、 十 例3.求（x2十3x十2）5的展开式中x的系数。所以x的系数为 240例3.求（x2十3x十2）5的展开式中x的系数。解法二 因为（x2十3x十2）5（x2十3x十2） （x2十3x十2）（x2十3x十2）（x2十3x十2）（x2十3x十2）所以（x2十3x十2）5 展开式的各项是由五个因 式中各选一项相乘后得到的，那么它的一次项 只能从五个因式中的一个取次项3x，另四个 因式中取常数项2相乘得到，即3x24240x所以x的系数为240（三）展开式中各项系数和例4.(2x2-1)n的展开式的各项系数和为（ ）A.2n+1 B.2n C.0 D.1分析：设(2x2-1)n=a0x2n+a1
5、x2(n-1)+an， 展开式各项系数和为a0+a1+a2+an 上式是恒等式，所以当且仅当x=1时，(2-1)n=a0+a1+a2+an a0+a1+a2+an=（2-1）n=1D求展开式中各项系数和常用赋值法：令二项式中的字母为1例5 已知: 展开式的系数之和比展开式的系数之和小240,求展开式中系数最大的项.展开式的二项式系数的和为多少?系数的和为多少?1.(1+x)+(1+x)2+(1+x)n的展开式的各项系数和是（ ）A.2n+1-2 B.2n+1-1 C. 2n+1 D. 2n+1+12.A（四）求展开式中各奇数项与各偶数项的系数和例6.已知：(2- )100=a0+a1x+a2x
6、2+a100x100，A=a0+a2+a4+a100，B=a1+a3+a5+a99，求： A+B、A-B、A2-B2.小结：(a+b)n=a0an+a1an-1b+a2an-2b2+anbn，设 A=a0+a2+a4+，B=a1+a3+a5+，（即A为展开式中各奇数项的系数和，B为展开式中各偶数项的系数和）.则：令a=b=1，得A+B=2n(1)令a=1，b=-1，得A-B=0(2)由（1）（2）可分别解得A、B 这是求奇数项系数和与偶数项系数和的基本 思路.(五)整除性的证明、求余数；例7 如果今天是星期一，那么对于任意自 然数n，经过23n+37n5天后的那一天是星 期几？ 解：由于23n
7、+37n5=8n+17n5=（71）n+1 7n+5=7n+1+7n+5=7(7n +n)+6则 23n+37n5被7除所得余数为6所以对于任意自然数n，经过23n+37n5后的一 天是星期日77771能被19整除吗？ （六）近似计算|x|1时，要注意误差绝对值应小于精确度的一半， 否则应该加项。解：1.9975=（20.003）5=25-5240.003+10230.0032- 10220.003由于|T6|T5|T4|1.0810-6，则|T4|T5 T6|0.000004所以1.9975320.24+0.000 7231.761这道题仍可以用二项式定理解，为了把左式与 右式发生联系，将3
8、换成21注意到： 2n+n2n-1=2n-1（2n）=2n-1（n+2）； n2，右式至少三项；这样，可以得到3n2n-1（n2）（nN，且 n2） (七)其它应用例 9 求证：3n2n-1（n2）（nN，且n2 ）注注 二项式定理实质上是一个恒等式，而恒等式的应用二项式定理实质上是一个恒等式，而恒等式的应用要注意：要注意：正用正用、逆用逆用和和变形用变形用. .例例1010、设（1）若试用q和n表示 ；（2）若 试用n表示 要善于利用要善于利用二项式系数的性质二项式系数的性质，求解或证明有关的，求解或证明有关的组合关系式组合关系式. .例1 求证： 3 9 3n =22n证明：在（a+b）n
9、的展开式中令a=1，b=3得：(1十3)n= 3 9 3n即4n = 3 9 3n ， 3 9 3n =22n。显然，适当选取a，b之值是解这一类题的关键， 再看练习题 求 9 92 93 94 的值。 分析 应对原题做以下变换：（1）取n=6。 （2）把原式除以92 。（3）增加 9 两 项。1 1、在 的展开式中 的系数是 .3 3、在 的展开式中 的系数是 ，该项的二项式系数是 .4 4、在 (kN)的展开式中二项式系数最大的项是第 项.5 5、 .6 6、设 ，则 ， .55 55480 480120 120k k1 1510 510255255 3025 30257 7、设 ，则 的反函数等于（ ）8 8、在 的展开式中，所有奇数项的和是 （ ）9 9、 展开式中 的系数是 （ ）1010、 被4除所得余数为 （ ） B BB BB BA A
