电路（第5版）第十五章

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1、第十五章 电路方程的矩阵形式割集 15-1关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 15-2矩阵A、Bf 、Qf 之间的关系*15-3回路电流方程的矩阵形式 15-4结点电压方程的矩阵形式 15-5列表法*15-7割集电压方程的矩阵形式*15-6首 页本章重点l重点1. 关联矩阵、割集矩阵、基本回路矩阵和基本割集矩阵的概念2. 回路电流方程、结点电压方程和割集电压方程的矩阵形式返 回15-1 割集下 页上 页割集Q连通图G中支路的集合，具有下述性质： 把Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。 任意放回Q 中一条支路，仍构成连通图。87654 321 9割集：(1 9 6)、 (2 8 9)、 (3 6 8

2、) 、(4 6 7) 、(5 7 8)(3 6 5 8 7) 、 (3 6 2 8)是割集吗？问题返 回基本割集只含有一个树枝的割集。割集数 n-1 连支集合不能构成割集。下 页上 页注意87654 321 9属于同一割集的所有支路的电流应满足KCL。当一个割集的所有支路都连接在同一个结 点上，则割集的KCL方程变为结点上的KCL方程 。 返 回下 页上 页注意 对应一组线性独立的KCL方程的割集称为独立割集 ，基本割集是独立割集，但独立割集 不一定是单树支割集。 返 回15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵图的矩阵表示是指用矩阵描述图的拓扑性质，即 KCL和KVL的矩阵形式。有三种矩阵形式：

3、下 页上 页1. 图的矩阵表示结点支路关联矩阵回路支路回路矩阵割集支路割集矩阵返 回下 页上 页2. 关联矩阵A用矩阵形式描述结点和支路的关联性质。n个 结点b条支路的图用nb的矩阵描述：每一行对应一个结点， 每一列对应一条支路。矩阵Aa的每一个元素定义为注意ajkajk=1 支路 k 与结点 j 关联，方向背离结点。 ajk= -1 支路 k 与结点 j 关联，方向指向结点。 ajk =0 支路 k 与结点 j 无关。返 回Aa=n b支路b 结 点n下 页上 页例2-11 特点 每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个 是-1，Aa的每一列元素之和为零。矩阵中任一行可以从其他n-1行中导出

4、，即只 有n-1行是独立的。返 回Aa=1 2 3 41 2 3 4 5 6 支结写图示电路的图的关联矩阵A 。解 -1 -1 1 0 0 0 0 0 -1 -1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 -1 -1下 页上 页降阶关联矩阵A特点 A的某些列只具有一个+1或一个-1，这样 的列对应于与划去结点相关联的一条支路。被画去 的行对应的结点可以当作参考结点。返 回Aa=1 2 3 41 2 3 4 5 6 支结 -1 -1 1 0 0 0 0 0 -1 -1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 -1 -1A=(n-1) b支路b 结 点 n-1下 页上 页关联矩阵A的

5、作用用关联矩阵A表示矩阵形式的KCL方程。设:以结点为参考结点n-1个独立 方程矩阵形式的KCL: A i = 0返 回i = i1 i2 i3 i4 i5 i6 TA i =-1 -1 1 0 0 0 0 0 -1 -1 0 1 1 0 0 0 1 0下 页上 页用矩阵AT表示矩阵形式的KVL方程。设:返 回下 页上 页2. 回路矩阵B独立回路与支路的关联性质可以用回路矩阵B描述。注意每一行对应一个独立回路， 每一列对应一条支路。矩阵B的每一个元素定义为：bij1 支路 j 在回路 i 中，且方向一致。-1 支路 j 在回路 i中，且方向相反。 0 支路 j 不在回路 i 中。返 回B =l

6、 b支路b独 立 回 路l下 页上 页例2-21 123给定B可以画出对应的有向图。注意基本回路矩阵Bf独立回路对应一个树的单连枝回路得基本 回路矩阵Bf 。返 回写图示电路的图的回路矩阵B 。解1 2 3B =1 2 3 4 5 6 支回 0 1 1 0 0 1 0 0 0 -1 1 -1 1 -1 0 0 -1 0支路排列顺序为先连支后树支，回路 顺序与连支顺序一致。 下 页上 页连支电流方向为回路电流方向。规定上例中选 2、5、6为树，连支顺序为1、 3 、 4 。1 231BtBl = 1 Bt 返 回支1 2 3B =1 3 4 2 5 6 回 1 0 0 -1 -1 0 0 1 0

7、 1 0 1 0 0 1 0 -1 1下 页上 页回路矩阵B的作用用回路矩阵B表示矩阵形式的KVL方程。设 ulutl个独立 KVL方程矩阵形式的KVL： B u = 0返 回B u =1 0 0 -1 -1 0 0 1 0 1 0 10 0 1 0 -1 1Bf u = 0ul+Btut=0ul= - Btut设：连支电压可以用树支电压表示。用回路矩阵BT表示矩阵形式的KCL方程。下 页上 页注意独立回路电流返 回下 页上 页1 231矩阵形式的KCL： BT il = i 注意树支电流可以用连支电流表示。返 回下 页上 页3. 基本割集矩阵Qf割集与支路的关联性质可以用割集矩阵描述，这里主

8、要指基本割集矩阵。注意每一行对应一个基本割集,每一列对应一条支路。矩阵Q的每一个元素定义为qij1 支路 j 在割集 i 中，且与割集方向一致。-1 支路 j 在割集 i中，且与割集方向相反。 0 支路 j 不在割集 i 中。返 回Q =(n-1)b支路b 割 集 数下 页上 页规定割集方向为树支方向。 支路排列顺序先树支后连支。 割集顺序与树支次序一致。基本割集矩阵Qf例2-31 选 1、2、3支路为树。Q1: 1, 4, 5 Q2: 2, 5, 6 Q3: 3, 4 , 6返 回写图示电路的图的基本 割集矩阵Qf 。解下 页上 页1 基本割集矩阵 Qf 的作用用基本割集矩阵 Qf 表示矩阵

9、形式的KCL方程。设返 回QlQtQf =1 2 3 4 5 6 支 割集Q1 Q2 Q31 0 0 1 1 00 1 0 0 -1 -10 0 1 1 0 -1矩阵形式的KCL： Qf i =0下 页上 页1 n-1个独立 KCL方程返 回Qf i =1 0 0 1 1 00 1 0 0 -1 -10 0 1 1 0 -1设树枝电压（或基本割集电压）：ut= u1 u2 u3 T用 QfT 表示矩阵形式的KVL方程。矩阵形式的KVL：QfT ut = u下 页上 页返 回连支电压可以用树支电压表示。下 页上 页注意小结QABKCLKVLA i =0BT il = iul= - BtutBu=

10、0Qf i=0QT ut= u返 回对同一有向图，支路排列次序相同时，满足： 三个矩阵从不同角度表示同一网络的连接性质，它们之间自然存在着一定的关系。*15-3 矩阵A、Bf 、Qf 之间的关系1. A与B 之间的关系下 页上 页返 回对同一有向图，任选一树，按先树枝后连枝顺序有 2. Bf 与Qf 之间的关系下 页上 页对同一有向图，支路排列次序相同时，满足： 返 回对同一有向图，任选一树，按先树枝后连枝顺序写出矩阵3. A与Qf 之间的关系下 页上 页返 回下 页上 页例3-1已知：1 2 3 4 5 求基本割集矩阵，并画出网络图。解1 返 回Bf =1 0 1 0 0 1 1 0 1 0

11、1 0 0 0 115-4 回路电流方程的矩阵形式反映元件性质的支路电压和支路电流关系的矩阵形式是网络矩阵分析法的基础。1.复合支路下 页上 页规定标准 支路Zk (Yk)+-+-返 回下 页上 页复合支路特点支路的独立电压源和独立电流源的方向与支 路电压、电流的方向相反。 支路电压与支路电流的方向关联。 支路的阻抗（或导纳）只能是单一的电阻、 电容、电感，而不能是它们的组合。返 回Zk (Yk)+-+-复合支路定义了一条支路最多可以包含的不同元件数及连接方法，但允许缺少某些元件。下 页上 页注意Zk(Yk)Zk(Yk)+-返 回下 页上 页Zk (Yk)=0+-Zk (Yk)+-Zk (Yk

12、)=0Zk (Yk)=0返 回2.支路阻抗矩阵形式电路中电感之间无耦合下 页上 页如有b条支路，则有返 回Zk (Yk)+-+-设Z = diagZ1 Z2Zb支路电流相量列矩阵支路电压相量列矩阵电压源的电压相量列矩阵电流源的电流相量列矩阵下 页上 页阻抗矩阵返 回整个电路的支路电压、电流关系矩阵：bb阶对角阵下 页上 页返 回下 页上 页电路中电感之间有耦合返 回M*+-+-*+-+-下 页上 页返 回下 页上 页如1支路至g支路间均有互感Z不是对角阵返 回下 页上 页返 回电路中有受控电压源下 页上 页Z的非主对角元素将有与受控电压源的控制系数有关的元素。Zk (Yk)+-+-+-返 回例

13、4-1下 页上 页写出图示电路的阻抗矩阵。返 回+R1R51/jCjL2 R6-jL3M+-3.回路电流方程的矩阵形式回路电流il (b-n+1)1阶下 页上 页支路方程返 回回路电压源相量矩阵回路阻抗阵，主对角线元 素为自阻抗，其余元素为 互阻抗。回路矩阵方程下 页上 页返 回回路分析法的步骤：下 页上 页小结返 回从已知网络，写出求出，列出回路方程求出由KCL解出根据支路方程解出例4-1下 页上 页用矩阵形式列出电路的回路电流方程。解做出有向图，选支路1，2，5为树支。15243121 2 3 4 5 12返 回+R11/jC5jL4R2-jL3下 页上 页把上式各矩阵代入回路电流方程的矩

14、阵形式返 回1.支路导纳矩阵形式下 页上 页15-5 结点电压方程的矩阵形式电路中不含互感和受控源返 回Zk (Yk)+-+-下 页上 页返 回bb阶对角阵下 页上 页返 回下 页上 页电路中电感之间有耦合返 回M*+-+-*+-+-下 页上 页返 回下 页上 页电路中有受控电源返 回Zk (Yk)+-+-下 页上 页返 回Zk (Yk)+-+-设：考虑b个支路时：下 页上 页若：kjkjg返 回下 页上 页若：kjjkjYb返 回KCL下 页上 页2.结点电压方程的矩阵形式支路方程：KVL返 回Yn结点导纳阵独立电源引起的流入结 点的电流相量列矩阵下 页上 页返 回结点分析法的步骤第一步：把电路抽象为有向图下 页上 页5V13A1A+-0.550.521小结123456返 回第二步：形成矩阵A1 2 3A=1 2 3 4 5 6 1 1 0 0 0 10 -1