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1、实验五 常微分方程初值问题数值解实验目的：了解常微分方程初值问题数值解的 概念，掌握解常微分方程问题的Euler折线法、改 进的Euler法、 Euler予估-校正法和Runge- Kutta法；解常微分方程初值问题的算法构造和计 算。能用Mathematica软件编程实现解常微分方 程初值问题的Euler折线法、 Euler予估-校正法 和经典的Runge-Kutta法。学习用计算机求常微 分方程初值问题数值解的一些科学计算方法和简单 的编程技术。一、基本概念与结论1常微分初值问题常微分方程特解问题称为初值问题，通常其形式为2常微分初值问题数值解常微分方程初值问题的解 在 上的有限 个值 的
2、近似值 称为常微分方程初值问题数 值解，其中 称为节点， 称为步长。通常步长取等距步长 , 其中 为区间 的分割数。3单步法4多步法在计算 时只用到 的方法，其计算公式为显式单步计算公式隐式单步计算公式式中函数 为连续函数，称为增量函数。在计算 时不仅用到 ,还要用到 的方法，一般 步方法要用到 ,多步 法也有显式方法和隐式方法之分。5数值解法的局部截断误差6数值解法的阶为该数值方法的局部截断误差。假设某常微分方程初值问题数值解法在 没有误差，即 ，称显式单步法局部截断误差为某常微分方程初值问题数值解的局部截断误差为则称该数值解法的阶为 。二、Euler折线法Euler折线法是最简单的求常微分
3、方程数值解 的法方。此方法精度不高，实用中较少使用。此方 法常用来说明求常微分方程数值解所涉及到的一些 问题。 1Euler折线法的构造过程之一设 充分光滑， 将 在点 作 泰勒展开，得：取其关于 的线性部分，有注意到 ，用 代替 ，并将 约等号换为等号，得到Euler公式Euler折线法是单步显式方法。其截断误差因此，Euler折线法是一阶方法。由初始条件 ，借助Euler公式就可依 次计算出微分方程初值问题的数值解法，此方法 称为Euler折线法。将微分方程的初值问题2Euler折线法的构造过程之二记 ,从而 ,则有化成一个代数方程(差分方程),主要步骤是用插商代替微商 ,于是3Euler
4、折线法的构造过程之三假设 及其对 的偏导数 在包含点 的 某一邻域内 上连续且有界，由牛顿莱布尼兹公式 有取不同的 ,用不同的近似函数代替 可 得到不同的数值解法。在上式中，取 ，而积分用矩形公式，则有左矩形公式： 显式Euler折线法右矩形公式： 隐式Euler折线法对于显式Euler折线法：误差分析：由泰勒公式显式Euler折线法是一阶方法。对于隐式Euler折线法：可见，隐式Euler折线法也是一阶方法。及4Euler折线法的算法(1)输入函数 ,初值 ,变量区间端点 及步长 ; (2)计算节点数 和节点 ;(3)用Euler公式 求数值解。例1用Euler折线法求初值问题的数值解，步长
5、 ，并在同一坐标系中画出 数值解与准确解的图形。5. 例题与实验三、改进的Euler方法在上述公式中，对积分用梯形公式，有：可得求微分方程初值问题数值解的梯形公式：误差分析：由前 可知于是有可见，上述公式是单步隐式公式，且为二阶方法。1改进的Euler方法的构造过程上述方法比Euler折线法阶数高，但是在给定初始 条件 后要求出数值解，每一次计算 的值 都要进行非线性方程求根的迭代解法来完成，因此 计算量大。为了减少计算量，通常采用先用Euler公式 进行一次预测，然后再用梯形公式进行校正，从 而得到下一步的值，其计算格式为此方法称为Euler予估-校正法。2Euler予估-校正法的算法(1)
6、输入函数 ,初值 ,变量区间端点 及步长 ; (2)计算节点数 和节点 ;(3)用改进的Euler公式求数值解。3例题与实验 例2用Euler予估-校正法求初值问题的数值解，取步长 和 计算，并与准 确解进行比较。四、Runge-Kutta法1Runge-Kutta法的构造过程在公式 中,仍取 ,而积分利用积分中值定理，有：为增加求解精度，把 写成一个线性组合 的形式并用 代替 ,就得到Runge-kutta 方法的一般形式上式若选择不同的 值，就得到不同形式的 Runge-kutta计算公式。通常为方便获得Runge-Kutta计算公式，常 把Runge-Kutta方法的一般形式写为：利用二
7、元泰勒展开将公式中的 在 展开并适 当的选择参数，就可以得到具体的Runge-Kutta 计算公式。它的增量函数为时二阶Runge-Kutta计算公式为它的局部截断误差为这是4个参数3个方程的方程组，其解有无穷多个。 例如可取 ，可以得到 。 于是得到一个 的二阶计算公式它被称为中点公式。利用 在 作二元 泰勒展开，其阶数为2阶，则有经典的Runge-Kutta法是四阶的，其形式为Euler折线法实为一阶Runge-Kutta法。2四阶Runge-kutta法的算法(1)输入函数 ,初值 ,变量区间端点 及步长 ; (2)计算节点数 和节点 ;(3)用四阶Runge-kutta公式求数值解。3例题与实验 例3用经典Runge-kutta求初值问题的数值解，分别取步长 和 计算, 并与准确解在 处进行比较。练习题1用Euler折线法求初值问题的数值解，步长 ，并在同一坐标系中画出 数值解与准确解的图形。 2用Euler折线法求初值问题的数值解，取步长 和 计算，并与准 确解进行比较。4用Euler予估-校正法求初值问题的数值解，取步长 和 计算，并与准 确解进行比较。3用Euler予估-校正法求初值问题的数值解，取步长 计算。5用四阶RangeKutta法求解初值问题的数值解，取步长 计算。6用经典RangeKutta法求解初值问题的数值解，分别取步长 和 计算。
