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1、线性二次型最优控制器设计讲解人：胡玲笑线性二次型最优控制器设计本节主要内容：l线性二次型最优控制器概述l连续系统线性二次型最优控制l离散系统线性二次型最优控制l线性二次型Gauss最优控制应用经典控制理论设计控制系统，能够解决很 多简单、确定系统的实际设计问题。但是对于诸多 新型而复杂的控制系统，例如多输入多输出系统与 阶次较高的系统，往往得不到满意的结果。这时就 需要有在状态空间模型下建立的最优控制策略。最优控制是现代控制理论的核心。所谓最优控 制，就是在一定条件下，在完成所要求的控制任务 时，使系统的某种性能指标具有最优值。根据系统 不同的用途，可提出各种不用的性能指标。最优控 制的设计，
2、就是选择最优控制，以使某一种性能指 标为最小。一、线性二次型最优控制概述线性二次型最优控制设计是基于状态空间技术来 设计一个优化的动态控制器。系统模型是用状态空间 形式给出的线性系统，其目标函数是状态和控制输入 的二次型函数。二次型问题就是在线性系统约束条件 下选择控制输入使二次型目标函数达到最小。线性二次型最优控制一般包括两个方面：线性二 次型最优控制问题（LQ问题），具有状态反馈的线 性最优控制系统；线性二次型Gauss最优控制问题， 一般是针对具体系统噪声和量测噪声的系统，用卡尔 曼滤波器观测系统状态。二、连续系统线性二次型最优控制1.连续系统线性二次型最优控制原理假设线性连续定常系统的
3、状态方程为：要寻求控制向量 使得二次型目标函数为最小。式中，Q为半正定是对称常数矩阵，R为正定实对称常数矩阵，Q、R 分别为X和U的加权矩阵。根据极值原理，我们可以导出最优控制律：式中，K为最优反馈增益矩阵；P为常值正定矩阵，必须 满足黎卡夫（Riccati）代数方程因此，系统设计归结于求解黎卡夫（Riccati）方程的问题，并 求出反馈增益矩阵K。2.连续系统二次型最优控制的MATLAB函数在MATLAB工具箱中，提供了求解连续系统 二次型最优控制的函数：lqr()、 lqr2()、 lqry()。 其调用格式为：其中，A为系统的状态矩阵；B为系统的输出矩 阵；Q为给定的半正定实对称常数矩阵
4、；R为给 定的正定实对称常数矩阵；N代表更一般化性 能指标中交叉乘积项的加权矩阵；K为最优反馈 增益矩阵；S为对应Riccati方程的唯一正定解P （若矩阵A-BK是稳定矩阵，则总有正定解P存 在）；E为矩阵A-BK的特征值。其中， lqry()函数用于求解二次型状态调节器的特 例，是用输出反馈代替状态反馈，即其性能指标为：这种二次型输出反馈控制叫做次优控制。此外，上述问题要有解，必须满足三个条件：（1） （A，B）是稳定的；（2） R0且Q-NR-1NT0;（3） （Q-NR-1NT，A-BR-1NT）在虚轴上不是非能观 模式。当上述条件不满足时，则二次型最优控制无解，函数 会显示警告信号。
5、3.连续系统二次型最优控制设计实例【例8.7】设系统状态空间表达式为：(1)采用输入反馈，系统的性能指标为：取 ，R=1(2)采用输出反馈，系统的性能指标为：，取Q=1,R=1试设计LQ最优控制器，计算最优状态反馈矩阵，并对闭环系统进行单位阶跃的 仿真。【解】（1）我们可以用MATLAB函数lqr()来求解LQ最 优控制器，程序清单如下：A=0,1,0;0,0,1;-1,-4,-6;B=0,0,1;C=1,0,0;D=0;Q=diag(1,1,1);R=1;K=lqr(A,B,Q,R)k1=K(1);Ac=A-B*K;Bc=B*k1;Cc=C;Dc=D;Step(Ac,Bc,Cc,Dc) 程序
6、运行结果如下：K =0.4142 0.7486 0.2046同时得到闭环阶跃响应曲线，如图1-1所示。图1-1 闭环系统阶跃响应曲线由图1-1可知，闭环系统单位阶跃响应曲线略微 超调后立即单调衰减，仿真曲线是很理想的，反 映了最优控制的结果。（2）我们可以用MATLAB函数lqry()来求解LQ最优控 制器，给出程序清单如下：A=0,1,0;0,0,1;-1,-4,-6;B=0,0,1;C=1,0,0;D=0;Q=1;R=1;K=lqry(A,B,C,D,Q,R)k1=K(1);Ac=A-B*K;Bc=B*k1;Cc=C;Dc=D;Step(Ac,Bc,Cc,Dc)程序运行结果如下：K =0.
7、4142 0.6104 0.1009 同时得到闭环阶跃响应曲线，如图1-2所示。图1-2 闭环系统阶跃响应曲线由图1-1和图1-2知，经最优输出反馈后，闭环系统阶跃响应曲线与经最优状态反 馈后的阶跃响应曲线很接近。三、离散系统线性二次型最优控制下面对离散系统线性二次型最优控制进行详细介绍。 1、离散系统线性二次型最优控制原理假设完全可控离散系统的状态方程为：要寻求控制向量 使得二次型目标函数为最小。式中，Q为半正定实对称常数矩阵；R为正定实对称 常数矩阵；Q、R分别为X和U的加权矩阵。根据极值原理，我们可以导出最优控制律：式中，K为最优反馈增益矩阵；P为常值正定矩阵，必 须满足黎卡夫（Ricc
8、ati）代数方程 因此，系统设计归结于求解黎卡夫（Riccati）方程 的 问题，并求出反馈增益矩阵K。2.离散系统二次型最优控制的MATLAB函数在MATLAB工具箱中，提供了求解离散系统二次型最优控制的函数dlqr()与dlqry()。其调用格式为：其中，A为系统的状态矩阵；B为系统的输出矩阵；Q为给定的半正定 实对称常数矩阵；R为给定的正定实对称常数矩阵；N代表更一般化性 能指标中交叉乘积项的加权矩阵；K为最优反馈增益矩阵；S为对应 Riccati方程的唯一正定解P（若矩阵A-BK是稳定矩阵，则总有正定解P 存在）；E为矩阵A-BK的特征值。其中，dlqr()函数用于求解二次型状态调节器
9、的特例， 是用输出反馈代替状态反馈，即 ，则其 性能指标为：3.离散系统二次型最优控制设计实例 【例2】设离散系统的状态方程试计算稳态最优反馈增益矩阵，并给出闭环系统的单位阶跃 响应曲线。【解】 设定性能指标为 ，取 ,R=1。 用MATLAB函数dlqr()来求解最优控制器，给出程序清 单如下：%求解最优控制器a=2;b=1;c=1;d=0;Q=1000,0;0,1; R=1;A=a,0;-c*a,1;B=b;-c*b;Kx=dlqr(A,B,Q,R)k1=-Kx(2);k2=Kx(1);axc=(a-b*k2),b*k1;(-c*a+c*b*k2),(1-c*b*k1);bxc=0;1;c
10、xc=1,0;dxc=0;dstep(axc,bxc,cxc,dxc,1,100)程序运行后得到系统最优状态反馈增益矩阵KX为： Kx =1.9981 -0.0310 以及闭环系统的阶跃响应曲线，如图1-3所示。图1-3 闭环系统阶跃响应曲线四、 线性二次型Gauss最优控制考虑系统随机输入噪声与随机量测噪声的线性二次型的最优控制叫做线性二次Gauss(LQG)最优控制。这是一种输出反馈控制，对解决线性 二次型最优控制问题更具有实用性。1.LQG最优控制原理假设对象模型的状态方程表示为：式中，(t)和(t)为白噪声信号，(t)为系统干扰噪声，(t)为传感器带来的 量测噪声。假设这些信号为零均值
11、的Gauss过程，它们的协方差矩阵为：式中，Ex为向量x的均值。ExxT为零均值的Gauss信号x的协方差。进一步假设(t)和(t)为相互独立的随机变量，使得E (t)T(t) =0。定义最 优控制的目标函数为：式中，Q为给定的半正定实对称常数矩阵，R为给定的正定实对称常数矩阵。根据LQG问题的分离原理，典型的线性二次型Gauss最优控制的解 可以分解为下面两个问题：lLQ最优状态反馈控制问题；l带有扰动的状态估计问题。设计LQG控制器的一般步骤如下。 （1）根据二次型的性能指标J，寻求最优状态反馈增益矩阵K。 （2）设计一个卡尔曼滤波器来估计系统状态。 （3）构建LQG控制器。下面介绍Kal
12、man滤波器和LQG控制器设计的MATLAB实现。 2. Kalman滤波器在实际应用中，若系统存在随机扰动，通常系统的状态需要由状态方 程Kalman滤波器的形式给出。 Kalman滤波器就是最优观测器，能够抑 制或滤掉噪声对系统的干扰和影响。利用Kalman滤波器对系统进行最优 控制是非常有效的。在MATLAB的工具箱中提供了Kalman()函数来求解系统的Kalman滤波 器。其调用格式为：对于一个给定系统sys，噪声协方差Q，R，N函数返回一个Kalman滤波器 的状态空间模型kest,滤波器反馈增益为L，状态估计误差的协方差为P。用 MATLAB构建的Kalman状态观测器模型为：【
13、例3】已知系统的状态方程为：已知 ，试设计系统Kalman滤波器。 【解】 为计算系统Kalman滤波器的增益矩阵与估计误差的协方差，给出一下程序：% Kalman滤波器A=-1,0,1;1,0,0;-4,9,-2;B=6,1,1;C=0,0,1;D=0;S=ss(A,B,C,D);Q=0.001;R=0.1;kest,L,P=kalman(S,Q,R);L,P运行程序，得到系统Kalman滤波器的增益矩阵L与估计误差的协方差 P为：L =1.06411.15662.0393P =0.0678 0.0664 0.10640.0664 0.0695 0.11570.1064 0.1157 0.2
14、0393.LQG最优控制器的MATLAB实现我们已经知道，LQG最优控制器是由系统的最优反馈增益K和 Kalman滤波器构成，其结构如图1-4所示。图1-4 LQG最优控制器框图被控对象Kalman滤波-KWVYxu +LQG控制器在系统最优反馈K和Kalman滤波器设计已经完成的情况下，可借助 MATLAB工具箱函数reg()来实现LQG最优控制。函数调用格式为： rlqg=reg(sys,K,L)其中，sys为系统状态空间模型，K为用函数lqr()等设计的最优反馈增益，L 为滤波器反馈增益，rlqg为LQG调节器。【例3】已知控制系统结构图如图1-5所示，Simulink仿真模型为unti
15、tled.mdl 。 试对系统进行LQG最优控制，并给出系统闭环的单位阶跃响应曲线。图1-5 系统结构图【解】根据题意，要将已知系统结构图模型转换成状态空间模型，需要 调用函数linmod()。取加权矩阵Q1=1,R1=1,以及噪声矩Q2=0.001,R2=0.1。 给出程序如下：%生成状态空间模型a,b,c,d=linmod(untitled);s1=ss(a,b,c,d);q1=1000,0,0;0,1,0;0,0,1;r1=1;K=lqr(a,b,q1,r1)%设计Kalman滤波器q2=1;r2=1;kest,L,P=kalman(s1,q2,r2);%LQG校正器af,bf,cf,df=reg(a,b,c,d,K,L);sf=ss(af,bf,cf,df);sys=feedback(s1,sf);t=0:0.1:15;step(s1,t);hold onstep(sys,t)程序运行后得到原系统和带LQG控制器系统的闭环阶跃响应曲 线，如图1-6所示。图1-6 系统阶跃响应曲线由图1-6可知，原系统单位阶跃响应曲线振荡较大（虽然衰减）；带 LQG控制器的闭环系统单位阶跃响应曲线略微超调后立
