《线性代数 2.5 矩阵的秩及其求法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数 2.5 矩阵的秩及其求法（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一、矩阵秩的概念二、矩阵秩的求法第四节 矩阵的秩及其求法第二章 三、满秩矩阵11. k 阶子式定义1 设在A中任取k 行k 列交叉称为A的一个k 阶子式。阶行列式，处元素按原相对位置组成的一、矩阵的秩的概念2设， 共有个二阶子式，有个三阶子式。例如矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为而为 A 的一个三阶子式。显然，矩阵 A 共有个 k 阶子式。32. 矩阵的秩设，有r 阶子式不为0，任何r+1阶记作R(A)或秩(A)。 子式(如果存在的话)全为0 ,定义2称r为矩阵A的秩，4规定： 零矩阵的秩为 0 .注意：(1) 如 R ( A ) = r，则 A 中至少有一个 r
2、 阶子式所有 r + 1 阶子式为 0，且更高阶子式均为 0，r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 .(2) 有行列式的性质，(3) R(A) m, R(A) n, 0 R(A) min m , n .(4) 如果 Ann , 且则 R ( A ) = n .反之，如 R ( A ) = n ,则因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n .5二、矩阵秩的求法1、子式判别法(定义)。 例1设为阶梯形矩阵， 求R(B)。解，由于存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为0，则 R(B) = 2.结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。6例如一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数
3、”非零行的行数。7如果求 a .解或例2 设8则例392、用初等变换法求矩阵的秩定理2 矩阵初等变换不改变矩阵的秩。 即则 注：只改变子行列式的符号。是 A 中对应子式的 k 倍。是行列式运算的性质。 由于初等变换不改变矩阵的秩， 而任一都等价于行阶梯矩阵。 其秩等于它的非零行的行数，即为 所以可以用初等变换化 A 为阶梯矩阵来求A的秩。10例4解R(A) = 2 ，求11例512三、满秩矩阵称 A 是满秩阵，（非奇异矩阵）称 A 是降秩阵，（奇异矩阵）可见：A 为 n 阶方阵时，定义3对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵E,又根据初等阵的作用：每对A施行一次初等行变换，相当于用一个对应
4、的初等阵左乘A, 由此得到下面的定理13定理3设A是满秩方阵，则存在初等方阵使得14例如它的行最简形是 n 阶单位阵 E .对于满秩矩阵A，A为满秩方阵。 15定理5 R(AB)R(A), R(AB)R(B),即R(AB)minR(A)，R(B)。关于矩阵的秩的一些重要结论：性质1设A是矩阵， B是矩阵，性质2 如果 A B = 0 则性质3 如果 R(A)= n, 如果 A B = 0 则 B = 0。性质4 设A,B均为 矩阵，则16设A为n阶矩阵，证明R（A+E）+R（A-E）n证： （A+E）+（E-A）=2E R（A+E）+ R（ E-A ） R（2E）=n而 R（ E-A ）=R（ A-E ） R（A+E）+R（A-E）n例817作业P109 1 2 318
