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1、第3章 介质中的麦克斯韦方程 本章将讨论一般介质中的麦克斯韦方程，这首先需要了 解介质的电与磁的性能以及一些简单概念。通过分析发现，如果引入极化矢量 和磁化矢量 ，就可以很方便地来描述普通介质中麦克斯韦方程的一般形式。本章还将引入介质中相对介电常数的定义,而且会看到与介质折射率n 之间存在着直接的联系。真空中的麦克斯韦方程或介质中的麦克斯韦方程预测极化电荷极化电流磁化电流1. 介质特性：电偶极矩 、分子极化率 、极化矢量 4. 一般媒质中的麦克斯韦方程重点：3. 磁偶极矩、磁化强度矢量 、 2. 介质的折射率、相对介电系数 5. 介质中的三个物态方程6. 场量的边界条件 3.1 电介质及其极化
2、 1. 电介质一般来讲电介质可分为两大类：一类是无极 分子电介质，当没有外电场作用时，这类电介质 中正负电荷的中心是重合的，处于电中性状态， 对外不显电性，如2、2等气体物质。第二类是 有极分子电介质，如2O当没有外电场作用时， 这类电介质中的正负电荷中心不重合，每个分子 可等效为一个电偶极子，但由于分子的无规则热 运动，使得电偶极子的分布排列是无规则的。因 此，整体仍呈电中性，对外也不显电性。 3、束缚电荷（bound charge） 不能离开电介质，也不能在电介质内部自由 移动的电荷 。2、电介质的极化 在外电场作用下，电介质中出现有序排列电 偶极子以及表面上出现束缚电荷的现象 。假设电场
3、中分子内部的电荷q 在电场的作用下从它的平衡位置移动了一段距离x，如果被移动的电荷质量为m，其受到的恢复力与位移成正比，那么电荷的受力方程可以表示为 3.2 单个分子的分子偶极矩 式中： 为阻尼力， 为弹性恢复力 ，为加速度。在时谐电场中因此有则电荷位移式中 虚部与 有关，这表明我们所讨论模型的衰减使得位移与电场力不同相。 定义：分子内的电偶极矩 并且若引入分子极化率 则电偶极矩为 3.3 极化矢量 对介质中的一般分子模型所进行的讨论，说明我们可以 在两组不同的条件下来描述介质中的电荷特性。根据电荷偏 离其平衡位置时的位移,我们对分子中的电荷特性进行过讨论 ，虽然这时电荷能够发生位移,然而它们
4、的移动范围却是受到 分子约束的。尽管很高的场强会使介质中的电荷摆脱这种约 束而变成自由电荷并造成介质中产生“击穿”现象,但对这种 情况我们暂且不作讨论。对属于介质中分子的电荷来说（这 种电荷又称为“束缚电荷”），其它的电荷是被吸引进介质 的例如自由离子或自由电子,其运动不受分子约束力限制 ,故被称为“自由电荷”，于是我们可以将这两种不同类型的 电荷集中表示为 极化矢量的定义与电荷密度和电流密度之间的关系，与分子偶极矩之间的联系。 如图所示，假设某介质的单位体 积内包含有 个分子，设每个分子由 相距为 的正负电荷 组成，考虑介 质内某曲面 上的一个面 .当偶极 子的负电荷位于图中的体积中时，其
5、正电荷就穿出界面 外。穿出界面 dS外的正电荷为其中：故有上述结论与介质 结构的情况无关, 具有普遍意义。 这样,我们就可以 对任何介质写出 其应满足的麦克 斯韦方程。麦克斯韦方程的一般形式为 对闭合面 积分，得到闭合体积内穿出的总的正电荷 用 表示单位体积中的极化电荷，则 进一步有在上式中令 又由于 故有此式称为反映介质极化的物态方程 相对介电常数介电常数3.5 高密度介质中的电场当出现外加电场 时，介质中的每个分子都被极 化，并产生一个电偶极矩，从而在周围建立自己的 电场出于库仑作用是长程的，每个分子除了受到 加电场的作用之外，还要受到其他分子的感应电矩 的电场的作用；这两部分电场合起来记
6、作 ，称 为局域场(local field) 为宏观外加的电场；对于 单个分子来说 才是真正的外电场，这里没有计 及来自这个分子本身内部电荷的电场，而这个分子 以外的所有因素却都考虑到了因此，极化强度 应写成与 的线性关系( )而不是与 的 线性关系 气体中，由于分子的整体旋转热运动的 结果，使内电场的取向随着分于一起旋 转；因此其效应在作热平均值时抵消了 ，在宏观上就表现不出来这时，可以 简单地认为分子本身内部电荷的电场为 零，对于晶体结论也是成立的。 考察一种介质,它是由呈气态或液态的中性分子所组成 。对于这种流体介质，一般可以认为它是各向同性的（ isotropic）。由于单个分子中的电
7、荷是分离的，所以如果 施加一个电场就会产生介质的极化，极化的方向与所施加电 场的相同。比如，在静电场的情况下，介质充斥于平行板电 容器（parallel-plate Capacitor）的两个极板之间，介质 中任一点处的场与下列因素有关：（i）金属板上的电荷与介质极化面电荷所构成的介质外表 面的电荷分布；（ii）所考察的场点周围分子偶极子所产生的附加影响。3.5 高密度介质中的电场前面一种因素的作用较为简单，它可由单位面积上的自由 电荷 来确定，其中包括了电解质的宏观效应的贡献，即 在对上述第二种因素的影响进行讨论时,我们遵循的是洛伦 兹的方法，即作一个包围场点的半径为R 的球面，如图所 示，
8、在球面的内部,可认为介质能够体现出单个分子的特性 ,而在球面外部则认为介质是呈电中性的。 球内的介质在球心产生的电场，且为零球外的介质在球心产生的电场E1归结为电介质被挖去一个球体后，球腔内壁电荷在球心所 产生的电场洛伦兹有效场3.5由于全部分子偶极子在球体中心的总的场强矢量和的值为零，因此,能在球体中心产生电场就只剩下两个来源了：(i) 介质外表面极板上的电荷(ii)球的内表面上的极化电荷。因此,局部电场可以表示为即此式说明，局部电场的影响可使电场增强 洛伦兹有效场洛伦兹有效场修正又因为比较上面两式可得如果不可虑内部场加强效应，则成为前面的结果3.6 折射率与相对介电常数介质的折射率(ref
9、ractive index) n定义为 其中c是电磁波在真空中的速度，v则是电磁波在折射率为n 的介质中的速度。 前面我们已经定义了一个反映介质特性的量相对介电常数 下面我们来寻求折射率n与 之间的关系： 令则介质中的麦克斯韦方程变为 方程4则为 对方程4两端取旋度，并代入 方程2和方程3，可得 这是一个关于B的波动方程 波速为 因 为所 以3.7 磁化的概念 介质的磁化（Magnetization）和介质的极化一样，也 是和物质的结构紧密相关的。根据原子的简单模型，电子 沿圆形轨道围绕原子核旋转，其就像一闭合的圆电流，具 有一定的磁矩，电子和原子核还在自旋，也存在磁效应。 所有的磁效应可等效
10、为一个圆电流，这个圆电流成为分子 电流。即磁偶极子(magnetic dipole)。由于热运动等原因， 物质中的圆电流的磁场常常互相抵消，因而总体对外并不 显示磁性。介质中的电子和原子核都是束缚电荷，它们进行的轨 道运动和自旋运动都是微观运动，由束缚电荷的微观运动 形成的电流，称为束缚电流(bound current)，也称磁化电 流（Magnetization current）。在没有外加磁场的作用下， 绝大部分材料中所有原子的磁偶极矩(magnetic dipole moment)的取向是杂乱无章的，结果总的磁矩为，对外不呈 现磁性。在外磁场的作用下，物质中的原子磁矩将受到一个力矩的 作
11、用，所有原子磁矩都趋于与外磁场方向一致的排列，彼 此不再抵消，结果对外产生磁效应，影响磁场分布，这种 现象称为物质的磁化。 可以证明，磁介质磁化后对磁场的影响，可用磁化电流密度来等效 磁化电流不同于自由电流，其电荷运动是被束缚在媒质内部 的，因而也叫束缚电流。 为了描述及衡量介质的磁化程度，我们定义磁化强度矢量 式中 是一个分子电流的磁矩，也称磁偶极矩， 3.8 磁化电流与磁化矢量 可以证明，磁介质磁化后对磁场的影响，可用磁化电流密度来等效 磁化电流不同于自由电流 ， 其电荷运动是被束缚在媒 质内部的，因而也叫束缚 电流。 3.9 磁场强度 引入磁化电流后，磁介质中安培环路定律的微分形成可写成
12、 即令则称 为磁场强度，它也是描述磁场的一个物理量。 对于各向同性及线性磁介质，由实验可证明 式中 为磁化率（Magnetic susceptibility），是一个 标量常数。 可得 称此式为反映介质磁化的物态方程。 式中 为磁介质的磁导率， 为磁介质的相对磁导率。3.10 磁介质 所谓磁介质，就是在外加磁场的作用下，能产生磁化现 象，并能影响外磁场分布的物质。事实上，除了真空外，其 它任何物质都是可磁化的磁介质，只不过磁化效应的强弱存 在差别而已。根据物质的磁效应的不同，磁介质通常可分为 ：抗磁质、顺磁质、铁磁质、亚铁磁质等。 抗磁质 主要是电子轨道磁矩产生磁化现象引起的，自 旋磁矩可忽略
13、，在外磁场的作用下，电子轨道 磁矩的方向和外磁场的方向相反。这时磁化率 ，相对磁导率 ， 与 的方向 相反，磁介质内 变小。 顺磁质 主要是电子自旋磁矩引起的。轨道磁矩的抗磁 效应不能完全抵消它，在外磁场作用下电子的 自旋磁矩和外磁场方向一致, 这时磁化率 ，相对磁导率 ， 与 的方向 相同。 铁磁质 在外磁场的作用下，呈现强烈的磁化，能明显地影响磁 场的分布。在铁磁材料中，存在许多天然小磁化区，即 磁畴。每个磁畴由多个磁矩阵方向相同的原子组成，在 无外磁场作用时，各磁畴排列混乱，总磁矩相互抵消， 对外不显示磁性。但在外磁场作用下，磁畴企图转向外 磁场方向排列，形成强烈磁化。因此，铁磁性物质的
14、磁 化，是由于外磁场与磁畴作用的结果。撤去外磁场后， 部分磁畴的取向仍保持一致，对外仍然呈现磁性，称为 剩余磁化。时间长了，或温度升高，会消失。铁磁材料 是一种非线性磁介质，其曲线与磁化历史有关，形成了 一个磁滞回线。 亚铁磁质 是指其中某些分子（或原子）的磁矩与磁畴平行，但 方向相反。在外磁场作用下，这类材料也是呈现较大磁效 应，但由于部分反向磁矩的存在，其磁性比铁磁材料要小 。在工程技术上用得较多的是铁氧体，其最大特点是磁导 率是各向异性的，而介电常数则呈各向同性。 3.11 介质中的麦克斯韦方程组引入反映介质极化的物态方程 引入反映介质磁化的物态方程 可写出一般媒质中的麦克斯韦方程 从物
15、理本质上看，E和B是场的基本物理量，D和H是辅助物理量 另外，还有电流连续性方程 可以证明:由麦克斯韦方程组中的两个旋度方程及电流连 续性方程，可导出麦克斯韦方程组中的两个散度方程。也 就是说，麦克斯韦方程组的四个方程，再加上电流连续性 方程这5个方程，事实上只有三个方程是独立的。为了获 得电磁场的解，还需要利用三个物态方程： 才可得到一般媒质中完整的麦克斯韦方程组的解。 3.12 电磁场的边界条件研究边界条件的出发点仍然是麦克斯韦方程组，但在 不同媒质的交界面处，由于媒质不均匀，媒质的性质发生 了突变，使得场量也可能产生突变，因此，微分形式的方 程可能不再适用，而只能从麦克斯韦方程组的积分形
16、式出 发，推导出边界条件。电磁场的边界条件通常包括边界面上场量的法向分量（Normal component）切向分量（Tangential component）1、一般媒质界面的边界条件 如图为两种一般媒质的交界面，第一种媒质的介电常数 、磁导率、电导率分别为 ， ， ；第二种媒 质的分别为 , , 媒质1 媒质2 （1）D 的边界条件如图所示，在分界面上取 一个小的柱形闭合面，其上下 底面与分界面平行.在柱形闭合面上应用高斯定律： 则 此式即为 的法向边界条件，它表明：的法向分量在分界面处产生了突变 当 时， 的法向分量变为连续。 或 面电荷C/m2同样的道理可以得出P的边界条件或 与上图类似，应用高斯定律得：（2）B 的
