定积分

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1、一、问题的提出 二、定积分的定义 三、几何意义 四、存在定理 五、小结 第一节 定积分的概念abxyo实例1 （求曲边梯形的面积）一、问题的提出abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，求曲边梯形面积的思路分割近似求和取极限（四个小矩形）（九个小矩形）(1)分割区间 a=x0+apadxx计算例;ln111+=+aaapxdxxdxxp时当= -=+- +apappxdxxp1111时当o o oo常义积分广义积分特点:1.积分区间为无穷;.001. 2右邻域内无界的时被积函数在点当=+-sdxxessx定义, 11 2101 1+-=dxxeIdxxeIsxsx设函数的几个重要

2、性质：.2)()(0122012+-+-=duuesuxdxxessusx有，中，作代换在广义积分的定义及计算四、小结注意 1. 与定积分的区别与联系；2. 有时题目可能含两类广义积分，要会处理3. 换元法中，广义积分化成常义积分就按照常 义积分做，但仍要注意判断有无无穷间断点。如思考题()., 1ln10-Nnmxdxxnm计算思考题解答练 习 题;1. 4;)1(. 3;1. 2;. 1,212031304-+-xxdx xdxdxxdxex若收敛计算其值：的收敛性一、判别下列广义积分.)1(ln. 2);0(. 1100-+-dxxndxepxn收敛范围：指出这些积分的函数表示下列积分，

3、并二、用练习题答案一、1. 收敛； 2. 发散； 3. 发散； 4. 收敛 ；一、定积分的元素法 二、平面图形的面积第七节 定积分的几何应用三、旋转体的体积四、平行截面面积已知的立体的体积 五、小结回顾 曲边梯形求面积的问题一、定积分的元素法ab xyo面积表示为定积分的步骤如下（3）求和，得A的近似值（4）求极限，得A的精确值ab xyo提示面积元素元素法的一般步骤：应用： 平面图形的面积，体积，经济应用等。二、平面图形的面积如何用元素法分析？第二步：写出面积表达式。 如何用元素法分析？第二步：写出面积表达式。解两曲线的交点面积元素选 为积分变量解两曲线的交点选 为积分变量于是所求面积说明：

4、注意各积分区间上被积函数的形式问题：积分变量只能选 吗？对下列图形，选择合适的积分变量求其面积：xyoxyo考虑选择x为积分变量，如何分析面积表达式？ xyoxyo观察下列图形，选择合适的积分变量：考虑选择y为积分变量，如何分析面积表达式？ 解两曲线的交点选 为积分变量解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内 一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做 旋转轴圆 柱三、旋转体的体积(volume of body)（1）圆 锥圆 台（3）（2）xyo旋转体的体积为解直线 方程为解解01xy补充如果一个立体不是旋转体，但却知道该立 体上垂直于一定轴的各个

5、截面面积，那么，这 个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积四、已知平行截面面积的立体的体积解 取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积解 取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积五、小结定积分的元素法平面图形的面积旋转体的体积平行截面面积已知的立体的体积思考题1思考题1解答xyo两边同时对 求导积分得所以所求曲线为思考题2思考题2解答交点立体体积练 习 题！练习题答案一、由边际函数求原函数二、由变化率求总量第八节 定积分的经济应用三、收益流的现值和将来值一、由边际函数求原函数例1 已知边际成本为 ,固定成本为1000,求总成本函数解二、由变化率求总量解例2 某工厂生产某商品在时刻 的总产量的变化

6、率为 （单位小时）.求 到 这两小时的总产量.三、收益流的现值和将来值收益若是连续地获得，则收益被看 作是一种随时间连续变化的收益流。收益流的现值是这样一笔款项， 若将它存入银行，将来从收益流 中获得的总收益，与包括利息在 内的银行存款值有相同的价值。将收益流存入银行并加上利息 之后的存款值。 收益流对时间的变化率。收益流收益流量收益流将来值收益流现值收益现值总 现 值dtt ,分析从而在获得年后的将来这一金额是在开始从内所获得的金额近似为在内任取一小区间在区间ttdtP(t)dttttT=+,0,+,0 dtP(t)dt内t+,t收益流的将来值故，总的将 来值从而在年后获得利息在对于将来值d

7、t 内tttTdt(t)p+-,例3 假设以年连续复利率 0.1计息 ,求收益流量为100元/年的收益流在20年内的现值和将来值.解现值将来值四、 小结由边际函数求原函数由变化率求总量收益流的现值和将来值思考题思考题解答练 习 题练习题答案一、75;二、0.01.主要内容典型例题第六章 定积分及其应用习 题 课（一）问题1: 曲边梯形的面积问题2: 变速直线运动的路程存在定理广义积分定积分定积分 的性质定积分的 计算法牛顿-莱布尼茨公式一、主要内容1.问题的提出实例1 （求曲边梯形的面积A）实例2 （求变速直线运动的路程）方法: 分割、近似、求和、取极限.2.定积分的定义定义记为可积的两个充分

8、充分条件：定理1定理23.存在定理4.定积分的性质性质1性质2性质3性质5推论：（1）（2）性质4性质7 (定积分中值定理)性质6积分中值公式5.牛顿莱布尼茨公式定理1定理2（原函数存在定理）定理 3（微积分基本公式）也可写成牛顿莱布尼茨公式6.定积分的计算法（1）换元法（2）分部积分法. 广义积分(1)无穷限的广义积分(2)无界函数的广义积分例1解二、典型例题1.利用定积分求极限例2分析 积不出可改用积分中值定理，将积分号去掉。解洛例3解2. 变上限函数求导（注意 x 的地位）例4解3. 定积分计算例5解例6解例7解又例8解例9解是偶函数,例10解例10解4. 广义积分计算例11解例12证5

9、. 证明题.cos1)(sin 2cos1)(sin:, 0)(0202pp+p=+pdxxxfdxxxxfxf证明上连续在设例13分析利用常数变易法证明例13证作辅助函数.)()()(. 0)(,)(2abxfdxdxxfxfbaxfbaba-证明上连续，且在区间设测 验 题测验题答案主要内容典型例题第六章 定积分及其应用习 题 课（二）微 元 法理 论 依 据名称释译所求量 的特点解 题 步 骤定积分应用中的常用公式一、主要内容1. 微元法理论依据.)1()2()(,)()(,)()1()()(,)(的微分的定积分分就是这表明连续函数的定积于是即的一个原函数是则它的变上限积分上连续在设Ud

10、UdxxfdxxfxdUxfdttfxUbaxfbabaxa=2. 名称释译.)()(:)()(,)2(方法称微元法计算积分或原函数的这种取微元积分的无限积累到从就是其微分所求总量知由理论依据dxxfdxxfUbadxxfdUUba=3. 所求量的特点4. 解题步骤5. 定积分应用的常用公式(1) 平面图形的面积直角坐标情形(2) 体积xyo平行截面面积为已知的立体的体积例1 由 二、典型例题1. 求其所围成的图形的面积.所围的平面图形如图所示0xy 12. 它绕 x 轴旋转而成的旋转体体积解1. 2. 解方法一先求总成本函数总收入为方法二例3解测 验 题四、设有某企业的资本股票，连续复利的利率(即股处迟缓)r(t)=0.01t，若10年后某资本股票的价值为1648.72元，求第五年时此资本股票的现值测验题答案例 求解性质3