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1、抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程2. 当 时轨迹为过F点且与L垂直的直 线即:MNMF1= 一、定义FMLN注意：1.“一动三定”一动即为动点M，一 定指定点F，即抛物线的焦点，一条定直 线L，及抛物线的准线，一个定值平面内与一个定点F和一条定直线L（F L) 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F 叫做抛物线的焦点。定直线L叫做抛物线的 准线。 yxo在二次函数中研究的抛物线， 有开口向上或向下两种情形。lNFM 求曲线方程 的基本步骤 是怎样的？想一想？抛物线标准方程的推导抛物线标准方程的推导1.建:建立直角坐标系.3. 列:根据条件列出等式; 4. 代:代入坐标与数据; 5. 化:化
2、简方程.2.设:设点 (x,y);回顾求曲线方程一般步骤：FMlN设焦点到准线的距离为常数P(P0) 如何建立坐标系,求出抛物线的标 准方程呢？抛物线标准方程的推导抛物线标准方程的推导试一试？KxyoFMlNK设KF= p 则F（ ，0），L：x =- p 2p 2设动点M的坐标为（x，y） 由抛物线的定义可知，化简得 y2 = 2px（p0）解：如图，取过焦点F且垂直于准线L的直 线为x轴，线段KF的中垂线为y轴 抛物线标准方程的推导抛物线标准方程的推导( p 0)FMLNyox抛物线标准方程的推导抛物线标准方程的推导如图，若以准线所在直线为y轴， 则焦点F(P,0),准线L:x=0 由抛物
3、线的定义，可导出 抛物线方程为 y2 = 2p(x- )(p0）p 2比较之下，显然方程 y2 = 2px（p0）更为简单方程 y2 = 2px（p0）叫做叫做 抛物线的标准方程抛物线的标准方程注意 p p意义是:（1）表示 焦 点 到 准 线 的 距 离（2）P为正实数（3）p p值等于一项系数绝对值的一半值等于一项系数绝对值的一半抛物线的标准方程抛物线的标准方程即右焦点F（ ，0），左准线L：x =- p 2p 2但是，一条抛物线，由于它在坐标平面 内的位置不同，方程也不同，所以抛物 线的标准方程还有其它形式。方程 y2 = 2px（p0）表示的抛物线，其焦点 位于X轴的正半轴上，其准线交
4、于X轴的负半轴抛物线的标准方程抛物线的标准方程yxo抛物线的标 准方程还有 哪些形式?想一想？抛物线的标准方程抛物线的标准方程其它形式的 抛物线的焦 点与准线又 如何呢？怎样把抛物线的位置特怎样把抛物线的位置特 征（标准位置）和方程特征（标准位置）和方程特 征（标准方程）统一起来征（标准方程）统一起来 ？抛物线的标准方程抛物线的标准方程想一想？抛物线方程左右 型标准方程为 y2 =+ 2px (p0)开口向右: y2 =2px(x 0)开口向左: y2 = -2px(x 0)标准方程为 x2 =+ 2py (p0)开口向上: x2 =2py (y 0)开口向下: x2 = -2py (y0)抛
5、物线的标准方程抛物线的标准方程上下 型准线方程焦点坐标标准方程焦点位置图形x轴的 正半轴x轴的 负半轴y轴的 正半轴y轴的 负半轴y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2pyF(-yxoyxoyxoyxo2 2、一次项的变量如为、一次项的变量如为X X（或（或Y Y）则焦点则焦点 就在就在X X轴（或轴（或Y Y轴）上。轴）上。抛物线的特征： 3 3、一次项的系数的正负决定了开口方向、一次项的系数的正负决定了开口方向即：即：焦点与一次项变量相同；正焦点与一次项变量相同；正 负决定开口方向负决定开口方向 ！ 1、左边是二次且系数是1，右边是一次，无常数项例1（1）已知抛物线的标准方程是y
6、2 = 6x，求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的方程是y = 6x2,求它的焦 点坐标和准线方程；（3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），求 它的标准方程。 解:因焦点在y轴的负半轴上,且p=4,故其标准 方程为:x = - 8y23 2解：因为，故焦点坐标为（,） 3 2准线方程为x=- .解:方程可化为: 故焦点坐标为 ,准线方程为 例题讲解例题讲解1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）y2 = 20x （2）y=2x2（3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0焦点坐标标准线线方程（1）（2）（3）（4）（5，0）x= -5（0，）1 8y= - 1 88x
7、= 5（- ，0）5 8 （0，-2）y=2练习：练习：注意：求抛物线的焦点 一定要先把抛物线化为 标准形式2、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是F（3，0）（2）准线方程 是x = （3）焦点到准线的距离是2解：y2 =12x解：y2 =x解：y2 =4x或y2 = -4x或x2 =4y或x2 = -4y练习：练习：反思研究已知抛物线的标准方 程 求其焦点坐标 和准线方程 先定位，后定量例2：求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。AOyx解：1）设抛物线的标准方程为x2 =2py，把A（-3，2）代入，得p= 2）设抛物线的标准方程为y2 = -2px，把A（-3，2）代入，
8、 得p= 抛物线的标准方程为x2 = y或y2 = x 。例题讲解例题讲解已知抛物线经过点P(4,2)，求抛物线的标准方程。提示：注意到P为第四象限的点，所以可以设抛物线的标准方程为y2=2px或x2=-2py练习练习3 3：例3:已知抛物线方程为x=ay2（a0)，讨论 抛 物线的开口方向、焦点坐标和准线方程？ 解：抛物线的方程化为：y2= x1 a即2p=1a4a1焦点坐标是（ ，0），准线方程是： x=4a1当a0时, ,抛物线的开口向右p 2=1 4a例题讲解例题讲解3。抛物线的标准方程类型与图象特征的对应关系2。抛物线的标准方程与其焦点、准线4。注重数形结合的思想1 1。抛物线的。抛物线的定义定义课堂小结课堂小结5。注重分类讨论的思想
